Matematyka.pl

Udowodnić, że przy założeniu hipotezy jednostajności dla dowolnych \(\displaystyle{ x \in No }\) oraz \(\displaystyle{ \alpha, \gamma \in [0,1)}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ \alpha + \gamma \leq 1}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ _{\gamma}q_{[x]+\alpha} =\frac{\gamma q_{x}}{1-\alpha q_{x}} }\)

\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x]+\alpha} =\frac{\gamma q_{x}}{1-\alpha q_{x}} \ \ (0) }\)

Dowód

Z hiopotezy jednorodności populacji (HUP)

\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x]+\alpha} = _{\gamma}p_{x+\alpha} }\)

\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{x+\alpha} = \frac{_{\gamma + \alpha}p_{x}}{_{\alpha}p_{x}} \ \ (1) }\)

Z hipotezy jednostajności (HU)

\(\displaystyle{ _{\gamma + \alpha}p_{x} = (1-\alpha)_{\gamma}p_{x} + \alpha_{\gamma+1}p_{x} = _{\gamma}p_{x}-\alpha_{\gamma}p_{x} +0 = (1-\alpha)_{\gamma}p_{x} = \gamma\cdot q_{x} \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ _{\alpha}p_{x} = 1 - _{\alpha}q_{x} = 1 - \alpha q(x) \ \ (3)}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ (2), \ \ (3) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x]+\alpha} =\frac{\gamma q_{x}}{1-\alpha q_{x}} }\)

otrzymujemy prawą stronę równości \(\displaystyle{ (0) }\)
\(\displaystyle{ \Box }\)

Dodano po 23 minutach 34 sekundach:
Wnioski

Równość \(\displaystyle{ (0) }\) wynika z przyjętego modelu matematycznego w ubezpieczeniach.

W modelu tym występują dwie hipotezy HUP i HU.

W HU zakłada się liniową interpolację między kolejnymi latami \(\displaystyle{ n, \ \ n+1, \ \ n\in \NN_{0}. }\)

czy w podpunktach zamiast p nie powinno być q?
po lewej stronie równości powinno być q a nie p , czyli to zmienia całość zadania?

Dodano po 23 minutach 25 sekundach:
probowałam wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ _{\gamma}q_{[x]+\alpha}=P(Tx\leq s+t|Tx>s)}\) nastepnie wykorzystac wzór na prawdopodobienstwo warunkowe, ale niestety nic mi to nie dało

Powinno być \(\displaystyle{ p .}\)

ale ja w zadaniu mam q

Dodano po 36 sekundach:
da się inaczej rozwiązać, aby nie brać pod uwagę HUP? ponieważ tego nie miałam na zajęciach
miałam tylko HA i HU

Bez przejścia z \(\displaystyle{ p }\) na \(\displaystyle{ q }\) z wykorzystaniem hipotez \(\displaystyle{ HUP, HU }\) - nie bardzo widzę jak dojść do wyniku.

rozumiem a z przejściem z p na q a bez HUP da się jakoś rozwiązać?

Wieczorem usiądę jeszcze raz nad tym zadaniem, nie wykorzystując HUP.

dziękuję

janusz47 pisze: ↑2 mar 2020, o 23:00
\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x]+\alpha} =\frac{\gamma q_{x}}{1-\alpha q_{x}} }\)

Podstawmy \(\displaystyle{ \alpha = 0 }\) i od razu widać, że wyszła bzdurka.

FasolkaBernoulliego pisze: ↑3 mar 2020, o 14:46

janusz47 pisze: ↑2 mar 2020, o 23:00
\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x]+\alpha} =\frac{\gamma q_{x}}{1-\alpha q_{x}} }\)

Podstawmy \(\displaystyle{ \alpha = 0 }\) i od razu widać, że wyszła bzdurka.

ja to muszę udowodnić, więc to jest na pewno prawidłowa równość

pow3r pisze: ↑2 mar 2020, o 18:27 Udowodnić, że przy założeniu hipotezy jednostajności dla dowolnych \(\displaystyle{ x \in No }\) oraz \(\displaystyle{ \alpha, \gamma \in [0,1)}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ \alpha + \gamma \leq 1}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ _{\gamma}q_{[x]+\alpha} =\frac{\gamma q_{x}}{1-\alpha q_{x}} }\)

A ja po lewej widzę q.

FasolkaBernoulliego pisze: ↑3 mar 2020, o 14:54

pow3r pisze: ↑2 mar 2020, o 18:27 Udowodnić, że przy założeniu hipotezy jednostajności dla dowolnych \(\displaystyle{ x \in No }\) oraz \(\displaystyle{ \alpha, \gamma \in [0,1)}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ \alpha + \gamma \leq 1}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ _{\gamma}q_{[x]+\alpha} =\frac{\gamma q_{x}}{1-\alpha q_{x}} }\)

A ja po lewej widzę q.

tak racja nie zauważyłam

Dodano po 19 sekundach:
nie wiem w jaki sposób można to przekształcić aby L=P

Bez hipotezy dotyczącej zależności rozkładów T(x) i T(y) nic nie zdziałasz, więc tutaj się zgodzę z Panem Januszem, że trzeba HUP zastosować, żeby do czegoś rozsądnego dojść. Dalej

\(\displaystyle{ _{\gamma}q_{x+\alpha} = 1 - _{\gamma}p_{x+\alpha} =(HUP)= 1 -\frac{_{\alpha + \gamma}p_x}{_{\alpha}p_x} = 1 -\frac{1 - \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = \frac{1 - \ _{\alpha}q_x - 1 + \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = (HU) = \frac{(\alpha + \gamma )q_x - \alpha q_x}{1 - \alpha q_x} = \frac{\gamma q_x}{1 - \alpha q_x} }\)

Na marginesie, HU mogliśmy użyć ze względu na to, że \(\displaystyle{ \alpha + \gamma \leq 1 }\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}_0 }\), popatrz np. na przekształcenie u p. Janusza w linijce oznaczonej (2). Tak nie można korzystać z HU, bo ona mówi o liniowości na odcinkach pomiędzy kolejnymi liczbami całkowitymi \(\displaystyle{ [n, n+1] }\). pomiędzy punktami z dwóch róznych takich odcinków nie musi być liniowości.

w poleceniu pisze, aby uzyc tylko HU i HA, ale mimo wszytsko dziękuję za pomoc