Matematyka.pl

Udowodnić, że w pierścieniu skończonym ideały pierwsze i maksymalne są takie same.

Wystarczy zauważyć, że skończona dziedzina jest ciałem, a jest to proste: istotnie, jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest skończoną dziedziną i \(\displaystyle{ a\in R\setminus \left\{ 0\right\} }\), to funkcja \(\displaystyle{ R\to R, \ r\mapsto ar}\) jest różnowartościową funkcją zbioru skończonego w siebie, więc jest bijekcją, w szczególności: przyjmuje wartość jeden.

Nie zauważyłem założenia, że jest to dziedzina całkowitości...
Raczej z tego widzę, że dowód zacząłeś od środka nie podając założeń, z kontekstu tego co piszesz wynikało, że założyłeś , że zadany pierścień nie posiada dzielników zera,
dopiero potem skapowałem o co Ci biega, taki falstart...

Dowód jest jasny, jeśli zna się elementarny fakt z algebry abstrakcyjnej: dla każdego ideału \(\displaystyle{ I \mathrel{\leqslant \hskip{-4pt} \raise 2pt \tiny{|} \hskip{-1.7pt} \tiny{|} \hskip{4pt}} R}\) w pierścieniu przemiennym z jedynką zachodzą równoważności:

\(\displaystyle{ I}\) jest pierwszy \(\displaystyle{ \iff R/I}\) jest dziedziną,

\(\displaystyle{ I}\) jest maksymalny \(\displaystyle{ \iff R/I}\) jest ciałem.

Tak dowód jest jasny tylko samo rozpoczęcie niejasne , brak wstępu... i to mnie zmyliło tak to wyglądało jakby autor dowodu zakładał. że wyjściowy pierścień z zadania był dziedziną całkowitości i tak to na samym początku odczytałem...