Matematyka.pl

Jedynym dodatnim miejscem zerowym funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1+x ^{2} } - \frac{1}{2} }\) jest \(\displaystyle{ x ^{*} = 1}\). W ilu iteracjach metoda bisekcji startująca z odcinka \(\displaystyle{ \left[0, 4\right] }\) wyznaczy \(\displaystyle{ x ^{*} }\) z dokładnością \(\displaystyle{ \epsilon = 2 ^{-10} }\)? Czy metoda Newtona będzie lokalnie zbieżna kwadratowo do \(\displaystyle{ x ^{*} }\)? Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x _{0} = 2 }\) to iteracja postaci
\(\displaystyle{ x _{n+1} = x _{n} + 2\cdot f(x _{n} )}\)
jest kwadratowo zbieżna do \(\displaystyle{ x ^{*} }\).

Zadanie z egzaminu z Metod Numerycznych Pana dr Piotra Krzyżanowskiego MiMUW.

Metoda bisekcji (połowienia)

Twierdzenie o szacowaniu błędu w metodzie bisekcji (połowienia)

\(\displaystyle{ | r -c_{n}| \leq 2^{-(n+1)}(b_{0} - a_{0})}\)

\(\displaystyle{ 2^{-(n+1)} \cdot ( \cdot ) \leq 2^{-10} }\)

\(\displaystyle{ n = ? }\)

Metoda Newtona

Podstawiamy \(\displaystyle{ f, \ \ f^{'} }\) do:

\(\displaystyle{ x_{n+1} = x_{n} - \frac{ f(x_{n})}{f^{'}(x_{n})} , \ \ n\geq 0 }\)

\(\displaystyle{ x_{n+1} =...}\)

Analiza błędów metody Newtona

Wykazujemy równość

\(\displaystyle{ e_{n+1} = \frac{1}{2}\frac{f^{''}(\xi_{n})}{f^{'}(\xi_{n})} e^{2}_{n} \approx \frac{1}{2}\frac{f^{''}(r)}{f^{'}(r)}e^{2}_{n} = C e^{2}_{n}, \ \ C= const. }\)

albo nierówność

\(\displaystyle{ |x_{n+1} - r|\leq |C(x_{n} - r)^2|, \ \ n\geq 0.}\)