Matematyka.pl

Dany jest układ równań \(\displaystyle{ (A + E)\cdot x = b}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą \(\displaystyle{ N \times N}\) postaci \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&1&&\\1&4&...&\\&...&...&1\\&&1&4\end{array}\right]}\) natomiast elementy \(\displaystyle{ e _{ij} }\) macierzy \(\displaystyle{ E}\) spełniają \(\displaystyle{ \left| e _{ij} \right| \le 10 ^{-8} }\).Zakładając, że \(\displaystyle{ \left| \epsilon \right| \le 10 ^{-8} }\) oraz \(\displaystyle{ N \le 10^{6} }\) wykaż, że iteracja Jacobiego będzie zbieżna do rozwiązania. Sformułuj algorytm wykonywania jednej iteracji i oszacuj jego koszt w zależności od \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ \epsilon}\).


Wiem jak udowodnić, że metoda będzie zbieżna, ale w jaki sposób mogę skonstruować taki algorytm?

Zadanie z egzaminu Pana dr Piotra Krzyżanowskiego MiMUW.

Wiem jak udowodnić, że metoda będzie zbieżna, ale w jaki sposób mogę skonstruować taki algorytm?

Jak nie znamy algorytmu iteracyjnego metody Jacobiego, to jak można stwierdzić, że metoda jest zbieżna?