Obliczyć granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
5artos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 5 lis 2006, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 23 razy

Obliczyć granice

Post autor: 5artos » 13 paź 2007, o 19:11

Witam proszę o pomoc w obliczeniu takich przykładów:

1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to }= \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{1+ \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{5^{n}}}{\sqrt[n]{\sin (\frac{1}{n})}}}\)

4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}}}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}}}\)

[ Dodano: 14 Października 2007, 09:48 ]
Czyżby nikt nie był w stanie podzielić się informacjąjak to rozwiazać
Ostatnio zmieniony 14 paź 2007, o 00:26 przez 5artos, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Obliczyć granice

Post autor: Lorek » 14 paź 2007, o 12:33

4. 5. skorzystaj ze wzorów na sumę kolejnych liczb naturalnych/ ich kwadratów:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dodawanie#Wzory_sumacyjne
3. w liczniku masz szereg geometryczny, a w mianowniku
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{sin\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{n}}= \frac{\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}}}{\sqrt[n]{n}}}\)
i już ładnie widać co gdzie dąży.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć granice

Post autor: luka52 » 14 paź 2007, o 12:58

ad 1.
\(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} < \frac{1}{\sqrt{n}} \longrightarrow 0}\)

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

Obliczyć granice

Post autor: g-dreamer » 14 paź 2007, o 13:27

2. z 3 ciągów:
\(\displaystyle{ 0 (1/2)^n< funkcja < (\frac{2n-1}{2n})^n 0}\)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Obliczyć granice

Post autor: Calasilyar » 14 paź 2007, o 13:39

g-dreamer,
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} ft( \frac{2n-1}{2n}\right) ^{n} =
\lim\limits_{n\to\infty} ft( 1-\frac{1}{2n}\right) ^{n} =\\=
\lim\limits_{n\to\infty} ft( ft( 1+\frac{1}{(-2n)}\right) ^{-2n} \right)^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}\neq 0}\)

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

Obliczyć granice

Post autor: g-dreamer » 14 paź 2007, o 15:21

Calasilyar, racja.
2. Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}2^{1-2n}*\frac{(2n-1)!}{(n-1)!n!}}\)
i moje pomysły się kończą

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

Obliczyć granice

Post autor: jarekp » 14 paź 2007, o 17:56

4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}} =
\lim_{n \to }\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\frac{1}{2}}\)


5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}} =\lim_{n \to }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}=\frac{1}{3}}\)




[ Dodano: 14 Października 2007, 18:08 ]
2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n})^2=
\frac{1*3}{2^2}\cdot\frac{3*5}{4^2}\cdot ... \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\cdot\frac{1}{2n+1}< \frac{1}{2n+1}}\)


stąd otrzymujemy że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-1}{2n}}\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}=0}\)



g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

Obliczyć granice

Post autor: g-dreamer » 14 paź 2007, o 18:17

Well done. Chciałem zobaczyć, jak to będzie.

ODPOWIEDZ