Matematyka.pl

Witam forumowiczów,
Na co dzień nie zajmuje się konkretnie matematyką, lecz lubię majsterkować.
Podczas pracy nad kolejnym projektem doszedłem do etapu, który przewyższa moje umiejętności matematyczne.
Mianowicie mam 4 równania z 3 niewiadomymi, nie jestem jednak w stanie wyznaczyć niewiadomych.
Czy możecie pomóc w tej kwestii ?

Oczywiście proszę o wzięcie poprawki, iż nie jestem matematykiem i o delikatne traktowanie.

Poniżej równania:

\(\displaystyle{ x^2 = L_1^2 - y^2 - z^2}\)

\(\displaystyle{ y^2 = L_2^2 - z^2 - (x - K_1)^2}\)

\(\displaystyle{ z^2 = L_3^2 - (x - K_1)^2 -(y - K_4)^2}\)

\(\displaystyle{ L_4^2 = x^2 + (y - K_2)^2 + z^2}\)


\(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4,K_1,K_2,K_4:}\) stałe dodatnie
Niewiadome: \(\displaystyle{ x,y,z}\)

Pozdrawiam
Paweł

Mianowicie mam 4 równania z 3 niewiadomymi

Zatem masz więcej wymogów (równań) niż swobody czy przestrzeni w której możesz wyznaczyć rozwiązania. Geometrycznie może na przykład oznaczać to, że jaki punkt Twojej konstrukcji jest w dwóch różnych miejscach jednocześnie (albo, że musiał by być). To jest oczywiście niemożliwe z matematycznego punktu widzenia ale jak walniesz młotkiem podczas montażu to się może udać. Widzę kilka możliwych sposobów podejście:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zastanówmy się, czy faktycznie nie uda się wyznaczyć rozwiązania \(\displaystyle{ x,y,z}\). To, że mamy więcej równań jeszcze nie oznacza, że nie da się ich spełnić jednocześnie. Zastanów się, czy na pewno wszystkie równania są istotne i czy wszystkie wnoszą jaką nową informację którą chcesz zakodować.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli faktycznie nie ma takich \(\displaystyle{ x,y,z}\) to czy twoje stałe \(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4,K_1,...}\) to faktycznie stałe? Czy nie dało by się potraktować jakiejś stałej \(\displaystyle{ L_i,K_j}\) jako zmiennej. Wtedy będziesz miał \(\displaystyle{ 4}\) równania i \(\displaystyle{ 4}\) niewiadome.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ L_i}\) jest nie do ruszenia to możesz spróbować na przykład wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniające tylko najbardziej istotne równania. Możesz też wyznaczyć zestawy \(\displaystyle{ x,yz}\) spełniające układ bez jednego z równań a potem brać średnią \(\displaystyle{ x_{śr},y_{śr},z_{śr}}\). Takie rozwiązanie jednak

Poza tym sam ukłąd równań wygląda jak przecięcie się \(\displaystyle{ 4}\) kul w przestrzeni. Z pierwszego równania mamy:

\(\displaystyle{ L_1^2=x^2+y^2+z^2}\)

a kolejne trzy równania to nic innego jak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+z^2+ \text{linowa część 2} = L_2^2 \\ x^2+y^2+z^2+ \text{linowa część 3} = L_3^2 \\ x^2+y^2+z^2+ \text{linowa część 4} = L_4^2\end{cases} }\)

Zatem wszystko sprowadza się do:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \text{linowa część 2} = L_2^2-L_1^2 \\ \text{linowa część 3} = L_3^2-L_1^2 \\ \text{linowa część 4} = L_4^2-L_1^2\end{cases} }\)

Przy czym przez część liniową rozumiem to co zostanie w każdym z równań poza \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\), które i tak ma się równać \(\displaystyle{ L_1^2}\). Mamy zatem układ \(\displaystyle{ 3}\) równań liniowych z \(\displaystyle{ 3}\) niewiadomymi. Polecam jakiś program matematyczny i wzory , z których będziesz mógł sprawdzić jakie warunki muszą spełniać stałe by istniało rozwiązanie.

Te części liniowe to dokładnie (o ile się nie pomyliłem) coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2xK_1+K_1^2= L_2^2-L_1^2 \\ -2xK_1 -2yK_2+K_1^2+K_2^2=L_3^2-L_1^2 \\ -2yK_2+K_2^2=L_4^2-L_1^2\end{cases} }\)

Z pierwszego i trzeciego równania ma natychmiast odpowiedź:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{L_2^2-L_1^2 - K_1^2}{-2K_1} \\ y= \frac{L_4^2-L_1^2 - K_2^2}{-2K_2} \end{cases} }\)

Widać zatem, że aby układ był spełniony musi zajść jeszcze \(\displaystyle{ 2}\) równanie czyli po podstawianiu \(\displaystyle{ x,y}\):

\(\displaystyle{ L_2^2-L_1^2-K_1^2+ L_4^2-L_1^2-K_2^2 +K_1^2+K_2^2=L_3^2-L_1^2 }\)

Co upraszcza się do:


Jest to warunek rozwiązania tego układu równań. Jeśli taka zależność pomiędzy zmiennymi będzie pełniona to rozwiązaniami będzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{L_2^2-L_1^2 - K_1^2}{-2K_1} \\ y= \frac{L_4^2-L_1^2 - K_2^2}{-2K_2} \end{cases} }\)

oraz \(\displaystyle{ z= \pm \sqrt{L_1^2-x^2-y^2} }\)

Dodano po 3 minutach 38 sekundach:
Jeśli jednak \(\displaystyle{ L_2^2+L_4^2=L_3^2+L_1^2}\) nie zachodzi. To zastanów się czy nie możesz zmieniać jakiejś \(\displaystyle{ L_i}\) tak by warunek jednak został spełniony. Ponieważ jest to symetryczne możesz przyjąć, że \(\displaystyle{ L_1}\) może ulegać zmianie. Wtedy całość traktujesz jak funkcję zmiennej \(\displaystyle{ L_1}\).

Janusz Tracz pisze: 20 lut 2020, o 12:30 \(\displaystyle{ \begin{cases} -2xK_1+K_1^2= L_2^2-L_1^2 \\ -2xK_1 -2yK_2+K_1^2+K_2^2=L_3^2-L_1^2 \\ -2yK_2+K_2^2=L_4^2-L_1^2\end{cases} }\)

W drugim równaniu masz błąd - powinno być

\(\displaystyle{ -2xK_1 - 2yK_4 + K_1^2 + K_4^2 = L_3^2 - L_1^2}\)

Ostatecznie więc: przy oznaczeniach

\(\displaystyle{ x_0 = \frac{L_1^2 - L_2^2 + K_1^2}{2K_1} \\[1ex]
y_1 = \frac{L_2^2 - L_3^2 + K_4^2}{2K_4} \\[1ex]
y_2 = \frac{L_1^2 - L_4^2 + K_2^2}{2K_2}}\)

warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia rozwiązania wyjściowego układu jest

\(\displaystyle{ \begin{cases}
y_1 = y_2 \\
\left( x_0 \right)^2 + \left( y_1 \right)^2 \le L_1^2
\end{cases}}\)

i wtedy układ ma dokładnie dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \left< x, y, z \right>}\), które wyrażają się wzorem

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = x_0 \\
y = y_1 \\
z = \pm \sqrt{L_1^2 - x^2 - y^2}
\end{cases}}\)

Dzięki za wyłapanie "literówki".

Dokładnie o to mi chodziło !
Dziękuję Wam.

Dla pewności proszę o weryfikację, czy dobrze to rozumiem i przeprowadzam obliczenia ?
Punkt Q zawsze znajduje się w granicach narysowanego sześcianu.
Poglądowy rysunek:

\(\displaystyle{ K_1 = |AB|}\)
\(\displaystyle{ K_2 = |AD|}\)
\(\displaystyle{ K_4 = |BC|}\)


\(\displaystyle{ L_1 = |AQ|}\)
\(\displaystyle{ L_2 = |BQ|}\)
\(\displaystyle{ L_3 = |CQ|}\)
\(\displaystyle{ L_4 = |DQ|}\)

\(\displaystyle{ Q}\) - punkt w przestrzeni o współrzędnych \(\displaystyle{ x,y,z}\)

Na podstawie współrzędnych punktu \(\displaystyle{ Q (x,y,z)}\) obliczam długość odcinków \(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4}\):

\(\displaystyle{ L_1 = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} }\)

\(\displaystyle{ L_2 = \sqrt{(x-K_1)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} }\)

\(\displaystyle{ L_3 = \sqrt{(x-K_1)^2 + (y-K_4)^2 + (z-0)^2} }\)

\(\displaystyle{ L_4 = \sqrt{(x-0)^2 + (y-K_2)^2 + (z-0)^2} }\)

Nie potrafiłem jednak zrobić tego w drugą stronę. To znaczy mając długości odcinków \(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4}\) obliczyć pozycji punktu \(\displaystyle{ Q(x,y,z)}\). W tym mi pomogliście.
Jeszcze jedno pytanie. Dlaczego przy \(\displaystyle{ z}\) jest znak \(\displaystyle{ \pm}\) ?
Rozumiem, że mogę przeliczać teraz układ w dwie strony ?

kaczy1no pisze: 20 lut 2020, o 18:31Punkt Q zawsze znajduje się w granicach narysowanego sześcianu.

Skoro to jest sześcian, to chyba \(\displaystyle{ K_1 = K_2 = K_3 = K_4}\) ?

kaczy1no pisze: 20 lut 2020, o 18:31Jeszcze jedno pytanie. Dlaczego przy \(\displaystyle{ z}\) jest znak \(\displaystyle{ \pm}\) ?

Dlatego że jeśli rozwiązaniem podanego przez Ciebie układu jest punkt \(\displaystyle{ \left< x, y, z \right>}\), to jest nim również punkt \(\displaystyle{ \left< x, y, -z \right>}\). Mówiąc prosto: jeśli istnieje punkt spełniający układ równań, to takie punkty są dwa i każdy z nich można otrzymać z drugiego przez odbicie względem ściany górnej sześcianu.

Rozumiem odnośnie \(\displaystyle{ \pm z}\). Nie brałem tego pod uwagę, dzięki.
Jeśli chodzi o "Skoro to jest sześcian, to chyba \(\displaystyle{ K_1=K_2=K_3=K_4}\) ?"
Na rysunku jest sześcian, ale to jest sytuacja idealna, nigdy tak nie będzie, natomiast kąty między osiami będą zachowane.

Dzień dobry,
Mam jeszcze prośbę,
Zmieniłem położenie początku układu współrzędnych, aby mi się lepiej pracowało.
Rysunek przedstawiający nowy układ:
Spowodowało to, że musiałem zmodyfikować wzory na obliczanie \(\displaystyle{ Q _{x,y,z}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ L _{1} ^{2}- L _{2} ^{2}+K _{1} ^{2} }{2K _{1} } }\)

\(\displaystyle{ y= \frac{ L _{3} ^{2}- L _{2} ^{2}+K _{4} ^{2} }{2K _{4} } }\)

\(\displaystyle{ z=K _{5}- \sqrt{ L_{4} ^{2}-x ^{2}-y ^{2}} }\)

Przeprowadziłem jeszcze jedną modyfikację. Odcinki nie schodzą się w jednym punkcie.
To się pojawił problem, który mnie przerasta. Udało mi się zmodyfikować wzory na obliczanie długości \(\displaystyle{ L _{1} ,L _{2} ,L _{3} ,L _{4} }\), wzory poniżej.
Spowodowało to jednak, że wzory na obliczanie \(\displaystyle{ Q _{x,y,z}}\) już nie są poprawne.

\(\displaystyle{ L _{1}= \sqrt{(0-(Q _{x}-0,5T))^2 +(K _{2} -(Q _{y}+0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{2}= \sqrt{(K _{1} -(Q _{x}+0,5T))^2 +(K _{2} -(Q _{y}+0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{3}= \sqrt{(K _{3} -(Q _{x}+0,5T))^2 +(K _{4} -(Q _{y}-0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{3}= \sqrt{(K _{3} -(Q _{x}+0,5T))^2 +(K _{4} -(Q _{y}-0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{4}= \sqrt{(0 -(Q _{x}-0,5T))^2 +(0 -(Q _{y}-0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

Czy może wiecie, jak zmodyfikować te wzory tak aby był w nich uwzględniona zmienna "T" z rysunku ?
T- wymiary kwadratu, do którego wierzchołków schodzą się odcinki \(\displaystyle{ L _{1} ,L _{2} ,L _{3} ,L _{4} }\)
Punkt Q znajduje się w miejscu przecięcia się przekątnych kwadratu równoległego do płaszczyzny XY.

Z góry dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam
Paweł