Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją niemalejącą. Udowodnić, że miara Lebesgue'a wykresu tej funkcji jest równa zero.

Zastanawiam się nad podejściem do tego zadania. Generalnie wiem jak za pomocą twierdzenia Fubiniego prosto i szybko pokazać coś takiego dla dowolnej funkcji mierzalnej, ale takie podejście mnie niezbyt w tym momencie interesuje - to zadanie pochodzi z pewnego kolokwium z teorii miary z zakresu zawierającego znacznie mniej niż teoria całki. Oznacza to, że z pewnością można elementarnie to ugryźć. Jestem ciekaw jak, bo samemu na razie tego nie widzę, a dobrze by było się nad tym zastanowić, mimo że już teorię miary mam za sobą. Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki O funkcji monotonicznej na pewno wiemy, że ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości.

Policz pole pod i nad wykresem. To powinno pomóc

Ustalmy \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Rozumiem, że przez obszar nad wykresem mamy rozumieć obszar, którego pole opisuje suma górna dla podziału \(\displaystyle{ \left\{0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots,1\right\}}\), natomiast przez obszar pod wykresem mamy rozumieć ten opisywany przez sumę dolną. Wówczas łatwo widać, że wykres funkcji będzie zawarty w różnicy obydwu obszarów. Miara obszaru "górnego" jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)}\), natomiast "dolnego" to \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i-1}{n}\right)}\). Miary obydwu z nich są skończone w oczywisty sposób, więc miara różnicy będzie różnicą miar. Z tego wynika, że miarę wykresu można oszacować z góry przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n}(f(1)-f(0))}\). A to po przejściu granicznym z \(\displaystyle{ n}\) da nam dokładnie to, o co walczymy. W zasadzie wydaje się to bardzo proste, pozostaje ubrać w formalne słowa, ale to nie problem. Czy dobrze rozumiem?

Mierzalność wykresu w sumie mamy za darmo, bo tak jak wyżej możemy pokazać, że ma zerową miarę zewnętrzną. Ale przecież z twierdzenia Caratheodory'ego łatwo wynika, że zbiory miary zero są mierzalne.

Dobrze rozumiesz. Mówiąc wprost, dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) wykres jest zawarty w sumie prostokątów

\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^n \left[ \frac{i-1}{n}, \frac{i}{n} \right] \times \left[ f \left( \frac{i-1}{n} \right), f \left( \frac{i}{n} \right) \right]}\),

o łącznym polu \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \big( f(1) - f(0) \big)}\).

Dziękuję