Matematyka.pl

Jak obliczyć granicę tej funkcji dwóch zmiennych?

\(\displaystyle{
\lim_{(x,y) \to(0,0) } 3y \; \ln(x^2+y^2)
}\)

Wygodnie jest tu przejść na współrzędne biegunowe.

\(\displaystyle{ \lim_{ r \to 0^+} 3r\sin \alpha \ln r^2= 6\sin \alpha \cdot \lim_{ r \to 0^+} r\ \ln r=0 }\)

Bez współrzędnych biegunowych, można rozpisać na przykład tak:

\(\displaystyle{ 3y \ln\left(x^2+y^2\right) = \sqrt[3]{x^2+y^2}\ln\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{3y}{\sqrt[3]{x^2+y^2}}}\)

Nietrudno pokazać, że oba składniki dążą do zera.

Tmkk pisze: 11 lut 2020, o 19:41 Bez współrzędnych biegunowych, można rozpisać na przykład tak:

\(\displaystyle{ 3y \ln\left(x^2+y^2\right) = \sqrt[3]{x^2+y^2}\ln\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{3y}{\sqrt[3]{x^2+y^2}}}\)

Nietrudno pokazać, że oba składniki dążą do zera.

Szczerze mówiąc to nie wiem jak to dalej zrobić. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2+y^2} }\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ \ln(x^2+y^2)}\) dąży do \(\displaystyle{ - \infty }\) , a \(\displaystyle{ \frac{3y}{ \sqrt[3]{x^2+y^2} } }\) daje \(\displaystyle{ \frac{0}{0} }\). Nie widzę jak to zbliża mnie do rozwiązania zadania.

Zbliża w taki sposób, że policzenie tych dwóch granic oddzielnie jest prostsze (wg mnie), niż liczenie wyjściowej granicy. To nie znaczy, że wystarczy postawić zero i już.

W pierwszym składniku zauważ, że masz wyrażenia od tej samej funkcji, więc można sobie podstawić. W drugim składniku skorzystaj z twierdzenia o trzech funkcjach i oszacowania \(\displaystyle{ x^2+y^2 \ge y^2}\)

Albo można skorzystać z faktu, że \(\ln y^2<\ln (x^2+y^2)< \ln (1+y^2)\) da małych `|x|`