Nierówność z iloczynem wyrazów ciągu
: 11 lut 2020, o 17:25
Witajcie. Natrafiłem na takie oto zadanie:
W rozwiązaniu autorzy proponują, aby pomnożyć obustronnie tę nierówność przez \(\displaystyle{ (1 - \frac{1}{3})}\) i rzeczywiście wówczas łatwo już dokończyć dowód. Czy macie jednak jakieś inne pomysły na podejście do tego zadania? Przyznam, że na to nie wpadłem, ale próbowałem coś kombinować ze średnimi, indukcja też nie pomogła, jednak fajnie, gdyby podejść do tego z jeszcze innej strony.Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ (1 + \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3^2})(1 + \frac{1}{3^4})\dots (1 + \frac{1}{3^{2^n}}) < \frac{3}{2}}\)