Matematyka.pl

Mam problem z dwoma zadaniami:
1. Dla funkcjonału \(\displaystyle{ I[y(x)]= \int_{0}^{ \pi }[2(y')^2+8xy] \dd x }\) wyznaczyć równanie Eulera i zapisać je w najprostszej postaci.
Otrzymałem \(\displaystyle{ 8x - 4y''=0}\)
Czym jest to 8x? Czy to już najprostsza postać?
2. Wyznaczyć ekstremalę funkcjonału \(\displaystyle{ I[y(x)]= \int_{0}^{3}[12xy+(y')^2+yy'] \dd x }\) i tu podobnie, otrzymałem \(\displaystyle{ 12x+y'-2y''=0 }\) co z tym 12x?

Zadanie 1

To nie jest najprostsza forma przedstawienia ekstremali funkcjonału

Rozwiązujemy równanie równanie różniczkowe - zwyczajne rzędu drugiego - metodą bezpośredniego dwukrotnego całkowania

\(\displaystyle{ 8x - 4y'' = 0 }\)

\(\displaystyle{ 4y'' = 8x }\)

\(\displaystyle{ y'' = 2x }\)

\(\displaystyle{ y' =...}\)

\(\displaystyle{ y = ... }\)

Zadanie 2

Równanie różniczkowe zwyczajne, drugiego rzędu o stałych współczynnikach - niejednorodne

\(\displaystyle{ 2y'' - y' = 12x }\)

Rozwiązujemy jedną z metod - przewidywania, uzmiennienia stałej, przekształcenia Laplace'a.