Pierwiastek z liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
llun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lut 2020, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: llun » 6 lut 2020, o 15:07

Pierwiastek kwadratowy z \(\displaystyle{ 1-i}\)
Jak wygląda przebieg tego rozwiązania?
Ostatnio zmieniony 6 lut 2020, o 17:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Temat umieszczony w złym dziale.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2867
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: Janusz Tracz » 6 lut 2020, o 15:25

Można zauważyć, że \(\displaystyle{ 1-i= \sqrt{2}e^{- \frac{\pi}{4}i } }\) i spierwiastkować \(\displaystyle{ \pm \sqrt{\sqrt{2}e^{- \frac{\pi}{4}i }} = \pm \sqrt[4]{2}e^{- \frac{\pi}{8}i } }\)

sdd1975
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 9 kwie 2017, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radomsko
Pomógł: 5 razy

Re: Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: sdd1975 » 10 lut 2020, o 13:20

A można założyć, że pierwastek jest liczbą zespoloną \(\displaystyle{ z = x + yi }\) i po prostu podstawić:

\(\displaystyle{ \left(x + yi \right)^2 = 1 - i}\)

a następnie przyrównać rzeczywistą do rzeczywistej, urojoną do urojonej i wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) (będą dwa rozwiązania, czyli dwie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) ).

Można wreszcie skorzystać ze wzorów de Moivre'a - akurat w tym przypadku wychodzi argument stosunkowo "ładny".

Pierwszy (z opisanych przeze mnie) sposobów nadaje się w szczególności w sytuacjach, gdy argument jest "brzydki" - jak to często bywa przy rozwiązywaniu trójmianów kwadratowych ze współczynnikami zespolonymi.

ODPOWIEDZ