Pochodna odwzorowania wieloliniowego
: 5 lut 2020, o 16:07
Cześć, mam problem ze zrozumieniem deifnicji (no, w zasadzie twierdzenia):
Rozważmy odwzorowanie wieloliniowe i ciągłe: \(\displaystyle{ F\in L\left( V_1,...,V_k;W\right) }\) Wtedy zachodzi:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1,..,h_k\right) = \sum_{i=1}^{k}F\left( v_1,...,v_{i-1},h_i,v_{i+1},...,v_k\right) }\) i jest to odwzorowanie ponoć \(\displaystyle{ k-1}\) liniowe.
Nie mogę pojąć względem których \(\displaystyle{ k-1}\) zmiennych to jest liniowe:
Prosty przykład:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1,..,h_k\right) + F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h'_1,..,h_k\right)=F\left( h_1,...,v_k\right)+F\left( h'_1,...,v_k\right) + 2 \sum_{i=2}^{k}F\left( v_1,...,h_i,..,v_k\right) }\)
zaś:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1+h'_1,..,h_k\right) = F\left( h_1,...,v_k\right)+F\left( h'_1,...,v_k\right) + \sum_{i=2}^{k}F\left( v_1,...,h_i,..,v_k\right) }\)
I tak z każdą zmienną \(\displaystyle{ h_i}\). W czym jest problem?
Rozważmy odwzorowanie wieloliniowe i ciągłe: \(\displaystyle{ F\in L\left( V_1,...,V_k;W\right) }\) Wtedy zachodzi:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1,..,h_k\right) = \sum_{i=1}^{k}F\left( v_1,...,v_{i-1},h_i,v_{i+1},...,v_k\right) }\) i jest to odwzorowanie ponoć \(\displaystyle{ k-1}\) liniowe.
Nie mogę pojąć względem których \(\displaystyle{ k-1}\) zmiennych to jest liniowe:
Prosty przykład:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1,..,h_k\right) + F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h'_1,..,h_k\right)=F\left( h_1,...,v_k\right)+F\left( h'_1,...,v_k\right) + 2 \sum_{i=2}^{k}F\left( v_1,...,h_i,..,v_k\right) }\)
zaś:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1+h'_1,..,h_k\right) = F\left( h_1,...,v_k\right)+F\left( h'_1,...,v_k\right) + \sum_{i=2}^{k}F\left( v_1,...,h_i,..,v_k\right) }\)
I tak z każdą zmienną \(\displaystyle{ h_i}\). W czym jest problem?