Matematyka.pl

Mam za zadanie wyznaczyć parametryzację naturalną krzywej \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ k:\; \vec{r} (t)=[2t+\sin\,t,\; t-2\sin\,t,\; \sqrt{5}\cos\,t] \; t \ge 0}\) przyjmując \(\displaystyle{ t_{0} = 0}\).
Nie wyznaczałem jeszcze nigdy parametryzacji naturalnej, prawdę mówiąc nawet nie wiem co to dokładnie jest. Proszę o pomoc, dzięki.

\(\displaystyle{ k: \vec{r}(t) = [2t +\sin(t), \ \ t - 2\sin(t), \ \ \sqrt{5}\cos(t)]. }\)

Liczymy długość łuku

\(\displaystyle{ \vec{r'(t)}= [ (2 +\cos(t), 1 - 2\cos(t), -\sqrt{5}\sin(t) ] }\)

\(\displaystyle{ |\vec{r'(t)}| = \sqrt{(2 +\cos(t))^2 + (1- 2\cos(t))^2 + ( -\sqrt{5}\sin(t))^2} = \sqrt{5\sin^2(t) + 5\cos^2(t) + 5} = \sqrt{10}. }\)

\(\displaystyle{ s = \sigma(t) = \int_{0}^{t} \sqrt{10} \cdot d\tau = \sqrt{10}\cdot t }\)

Następnie znajdujemy funkcję odwrotną (czyli wyrażamy \(\displaystyle{ t }\) poprzez \(\displaystyle{ s }\))

\(\displaystyle{ t = \theta(s) = \frac{s}{\sqrt{10}}. }\)

Parametryzacją unormowaną (naturalną, łukową) jest więc funkcja

\(\displaystyle{ \overline{r}(s) = \left [ \frac{2s}{\sqrt{10}}+ \sin\left(\frac{s}{\sqrt{10}}\right), \ \ \frac{2s}{\sqrt{10}}-2 \sin\left(\frac{s}{\sqrt{10}}\right), \ \ \sqrt{5}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{10}}\right) \right]. }\)

Dodano po 10 minutach 44 sekundach:
Uwaga
Dla dowolnej regularnej krzywej parametrycznej \(\displaystyle{ \vec{r} }\) istnieje unormowana krzywa parametryczna unormowana równoważna z \(\displaystyle{ \vec{r} }\).
Stwierdzenie to ma duże znaczenie teoretyczne w geometrii różniczkowej.W praktyce natomiast rzadko daje się zastosować do znalezienia równoważnej krzywej parametrycznej z powodu kłopotów z obliczeniem całki i znalezieniem funkcji odwrotnej. Na szczęście w tym przykładzie uniknęliśmy tych kłopotów.