Matematyka.pl

Dzień dobry,
mam mały problem z zadaniem o treści:
"Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{5} + (1-2m)x ^{3} +(m ^{2}-1)x = 0 }\) ma
a) pięć pierwiastków;
b) dokładnie trzy pierwiastki;
c) tylko jeden pierwiastek;"

Po wyciągnięciu \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, mam równanie postaci: \(\displaystyle{ x(x ^{4} + (1-2m)x ^{2} + (m ^{2} -1)) = 0}\), czyli równanie ma zawsze przynajmniej jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x = 0}\). Więc, zostaje mi do analizy część równania \(\displaystyle{ x ^{4} + (1-2m)x ^{2} + (m ^{2} -1) = 0}\). Podstawiając zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\) za \(\displaystyle{ x ^{2}}\) otrzymują równanie kwadratowe \(\displaystyle{ t^{2} + (1-2m)t + (m ^{2} -1) = 0}\). W poleceniu do zadania nie ma mowy o tym aby pierwiastki były różne, więc dla kolejnych podpunktów ustaliłem takie warunki:
a) 5 pierwiastków, czyli: \(\displaystyle{ \Delta > 0; t _{1} \cdot t _{2} \ge 0; t _{1}+t _{2} \ge 0}\), czyli, równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) musi mieć 2 nieujemne pierwiastki.
b) dokładnie trzy pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) i \(\displaystyle{ t _{1}=t _{2} > 0}\) lub \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) i \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} < 0}\) plus sprawdzam osobno dla \(\displaystyle{ m = 1}\) i \(\displaystyle{ m = -1}\)
c) tylko jeden pierwiastek, tutaj dałem w odpowiedzi wszystkie wartości \(\displaystyle{ m}\), które nie znalazły się w rozwiązaniach podpunktu a) i b).
Po rozwiązaniu otrzymałem takie wyniki:
a) \(\displaystyle{ m \in \left\langle 1; \frac{5}{4} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ m \in \left\langle -1;1 \right) \cup \left\{ \frac{5}{4} \right\}}\)
c) \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -1\right) \cup \left(\frac{5}{4}; \infty \right) }\)
Jednak w zbiorze z zadaniami mam takie odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ m \in \left( 1; \frac{5}{4} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ m \in \left( -1;1 \right\rangle \cup \left\{ \frac{5}{4} \right\}}\)
c) \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -1 \right\rangle \cup \left(\frac{5}{4}; \infty \right) }\).
Czyli według autora zadania mam błędy dla wartości \(\displaystyle{ m = 1}\) i \(\displaystyle{ m = -1}\).
Podstawiając do wyjściowego równania:
\(\displaystyle{ m = 1}\), otrzymuję: \(\displaystyle{ x ^{3}\left( x-1\right)\left( x+1\right) = 0 }\), czyli według mnie mam tu 5 pierwiastków, 3 równe \(\displaystyle{ 0}\), 1 równy \(\displaystyle{ -1}\) i 1 równy \(\displaystyle{ 1}\), według autora 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ -1, 0, 1.}\)
\(\displaystyle{ m = -1}\), otrzymuję: \(\displaystyle{ x ^{3}\left( x ^{2} +3\right) = 0 }\), czyli według mnie mam tu 3 pierwiastki, wszystkie równe \(\displaystyle{ 0}\), według autora 1 pierwiastek równy \(\displaystyle{ 0}\).
Problem mam z tym zadaniem taki, że autor nie mówi w poleceniu, że mam szukać różnych pierwiastków, a w odpowiedziach są one uwzględnione, więc albo mój tok myślenia jest błędny, albo autor zadania wyraził się niejednoznacznie.
Jeśli się mylę, czy mógłby ktoś mnie poprawić? Pozdrawiam i dziękuję.

Podejrzewam, że autor zadając pytanie o ilość pierwiastków miał na myśli ilość elementów w zbiorze pierwiastków rzeczywistych. Niestety, nie każde zadanie jest precyzyjnie sformułowane, co powoduje, że w testach uczniowie myślący często udzielają odpowiedzi niezgodnych z kluczem.

Z drugiej strony szkoła uczy, że w przypadku trójmianu o zerowym wyróżniku mamy do czynienia z jednym pierwiastkiem podwójnym. Może więc nie warto komplikować sobie życia

Tak, tylko w tym zbiorze są zadania gdzie jest wyszczególnione, że szukamy różnych pierwiastków, oraz są zadania takie jak te, gdzie nie ma tej informacji. Nie ukrywam, że jest to trochę frustrujące. Można więc założyć, że treść zadania jest niejednoznaczna?

Przyjmij, że zadania zrobiłeś dobrze, a różnica jest w interpretacji otrzymanych wyników.

JK

Dziękuję za pomoc.