Matematyka.pl

Mamy kule: białe, czarne i zielone (B,C,Z). W torbie mamy 6 kul i wiemy, że jest przynajmniej jedna kula każdego koloru. Jak policzyć prawdopodobieństwa każdego rozkładu? A w zasadzie chodzi mi tylko o kombinatoryczny zapis.

Co rozumiesz przez rozkłady?

Możliwe układy w torbie, np: dwie białe, dwie czarne i dwie zielone. (Jest mi to potrzebne, żeby potem policzyć szansę, że wylosowałem dwie białe i wiedząc to (że wylosowałem dwie białe) policzyć prawdopodobieństwo, że jest w torbie jeszcze jedna biała kula.

Proszę dokładnie podać treść zadania.

Z tego co rozumiem, to masz taką sytuację:

W torbie jest jedna kulka biała, jedna czarna i jedna zielona. Potem w losowy sposób dorzucasz jeszcze 3 niezależnie od siebie (zakładam, że każda z nich z prawd. 1/3 może przyjąć każdy z kolorów?). Jeżeli dobrze rozumiem, to możesz o tym pomyśleć jak o schemacie 3 niezależnych doświadczeń, z 3 możliwościami w każdym z nich - biała / czarna / zielona.

Prawdopodobieństwo, że (dodatkowych) białych będzie \(\displaystyle{ k_1 = 0, 1, 2, 3}\), (dodatkowych) czarnych będzie \(\displaystyle{ k_2 = 0, ..., 3 - k_1}\) i (dodatkowych) zielonych będzie \(\displaystyle{ 3 - (k_1 + k_2)}\) możesz policzyć ze wzoru analogicznego do wzoru na liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego:

\(\displaystyle{ P(b = k_1, c = k_2) = {n \choose k_1} {n - k_1 \choose k_2} \left( \frac{1}{3} \right)^3 }\),

np. dla dodatkowych 2 białych i 1 zielonej (czyli w sumie 3 białe, 1 czarna i 2 zielone) masz
\(\displaystyle{ P(b = 2, c = 0) = {3 \choose 2} {1 \choose 0} \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{9}}\)