Podzielność przez 30 ?

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: matekleliczek » 13 paź 2007, o 15:37

wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczb\(\displaystyle{ n^5-n}\)jest podzielna przez 30

kongruencją mi się udało ale prosiłbym o klasyczne rozwiązanie również

W temacie nie umieszczaj wyrażeń matematycznych.
luka52
Ostatnio zmieniony 13 paź 2007, o 17:04 przez matekleliczek, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: kuma » 13 paź 2007, o 15:45

\(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{4}-1)=n*(n^{2}-1)(n^{2}+1)=n*(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ n*(n-1)(n+1)}\) - trzy kolejne liczby czyli podzielne na 6 (2*3=6) i dodatkowo za n wstawiamy 5 przypadków n=5, n=5k+1, n=5k+2, n=5k+3, n=5k+4 i tak udowadniamy podzielonśc na 5 2*3*5=30

Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: matekleliczek » 13 paź 2007, o 16:55

oki dzięks

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: luka52 » 13 paź 2007, o 17:01

kuma, jakie 5 przypadków :O
Wystarczy:
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) =\\ = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
I stąd już wszystko jasne...

Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: matekleliczek » 13 paź 2007, o 17:12

luka52 pisze:kuma, jakie 5 przypadków :O
Wystarczy:
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) =\\ = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
I stąd już wszystko jasne...
faktycznie święta racja

rain228
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 9 maja 2012, o 18:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: rain228 » 31 lip 2012, o 11:31

Witam
Nie rozumiem tej ostatniej linijki

\(\displaystyle{ + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
skąd tu się wzięło "dodatkowe" \(\displaystyle{ (n-1)(n+1)}\) ?
Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: Althorion » 31 lip 2012, o 11:39

\(\displaystyle{ (n^2 - 4) \equiv (n + 2)(n-2)}\)

Pozostałe czynniki były już wcześniej przecież.

rain228
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 9 maja 2012, o 18:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: rain228 » 31 lip 2012, o 18:20

\(\displaystyle{ 5 (n-1)n(n+1)}\) tu tak, ale są jeszcze przy \(\displaystyle{ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\) więc skąd te drugie \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) ?

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: Althorion » 31 lip 2012, o 18:43

Rozbito \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5)}\):
\(\displaystyle{ \ldots = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4) + (n-1)n(n+1)5 = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)

kejkun7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hmm ?
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 2 razy

Podzielność przez 30 ?

Post autor: kejkun7 » 10 sie 2012, o 17:54

http://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e_ ... ie_Fermata
z małego twierdzenia fermata stwierdzamy podzielność przez \(\displaystyle{ 5}\)
teraz wystarczy, że udowodnimy podzielność przez \(\displaystyle{ 6}\)
\(\displaystyle{ n^5 - n = n (n^4 -1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)(n)(n+1)(n^2+1)}\)
są tam trzy kolejne liczby, zatem są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\)
zatem też przez \(\displaystyle{ 6}\)
i tyle.

ODPOWIEDZ