Udowodnić podzielność wyrażenia przez 3
: 2 lut 2020, o 13:40
Zadanie o treści: ,,Stosując zasadę indukcji udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba postaci \(\displaystyle{ 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).""
\(\displaystyle{ \forall \ n \in \NN \ 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2 = 3k, \ k \in \mathbb{Z} }\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ A _{(n)} = 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2.}\)
Dla \(\displaystyle{ A _{(1)}}\) mamy:
\(\displaystyle{ A _{(1)} = 10 + 4 - 2 = 12 = 3 \cdot 4 = 3k, \ k \in \mathbb{Z}}\).
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że \(\displaystyle{ A _{(n)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}}\). Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}.}\)
\(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 10 ^{n+1} + 4 ^{n+1} - 2 = \\
= 10 ^{n} \cdot 10 + 4 ^{n} \cdot 4 -2 = \\
= (9 + 1) \cdot 10 ^{n} + (3 + 1) \cdot 4 ^{n} -2 = \\
= 9 \cdot 10 ^{n} + 10 ^{n} + 3 \cdot 4 ^{n} + 4 ^{n} -2 = \\
= 3(3 \cdot 10 ^{n}) + 3(4 ^{n}) + (10 ^{n} + 4 ^{n} -2)}\)
Wyrażenia \(\displaystyle{ 3(3 \cdot 10 ^{n})}\) oraz \(\displaystyle{ 3(4 ^{n})}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) ponieważ posiadają czynnik podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\).
Wyrażenie \(\displaystyle{ (10 ^{n} + 4 ^{n} -2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) z założenia.
Z zasady indukcji wynika teza twierdzenia.
Czy dowód pozostawiony w takiej formie jest poprawny?
\(\displaystyle{ \forall \ n \in \NN \ 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2 = 3k, \ k \in \mathbb{Z} }\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ A _{(n)} = 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2.}\)
Dla \(\displaystyle{ A _{(1)}}\) mamy:
\(\displaystyle{ A _{(1)} = 10 + 4 - 2 = 12 = 3 \cdot 4 = 3k, \ k \in \mathbb{Z}}\).
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że \(\displaystyle{ A _{(n)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}}\). Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}.}\)
\(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 10 ^{n+1} + 4 ^{n+1} - 2 = \\
= 10 ^{n} \cdot 10 + 4 ^{n} \cdot 4 -2 = \\
= (9 + 1) \cdot 10 ^{n} + (3 + 1) \cdot 4 ^{n} -2 = \\
= 9 \cdot 10 ^{n} + 10 ^{n} + 3 \cdot 4 ^{n} + 4 ^{n} -2 = \\
= 3(3 \cdot 10 ^{n}) + 3(4 ^{n}) + (10 ^{n} + 4 ^{n} -2)}\)
Wyrażenia \(\displaystyle{ 3(3 \cdot 10 ^{n})}\) oraz \(\displaystyle{ 3(4 ^{n})}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) ponieważ posiadają czynnik podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\).
Wyrażenie \(\displaystyle{ (10 ^{n} + 4 ^{n} -2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) z założenia.
Z zasady indukcji wynika teza twierdzenia.
Czy dowód pozostawiony w takiej formie jest poprawny?