dowody ...

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

dowody ...

Post autor: Jestemfajny » 13 paź 2007, o 15:00

1.Udowodnij że każda liczba zespolona różna od -1 której moduł jest równy 1 da sie przedstawic w postaci:\(\displaystyle{ z=\frac{1+it}{1-it}}\) t należy do R.
2.Udowodnij stosując metode indukcji zupełnej:
\(\displaystyle{ e^{in\alpha}=\cos{n\alpha}+i\sin{n\alpha}}\)
3.udowodnic...
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+cosz+cos2z...cosnz=\frac{sin(n+\frac{1}{2})z}{2sin\frac{z}{2}}}\)
z mojej strony:
W pierwszym porafie pokazac ze modul tak przedstawionej liczby daje jeden ale na odwrót niesety nie wychodzi..
Odnośnie drugiego znalazłem dowód tego twierdzenia ale na szeregach ale myśle że naszemu wykładowcy nie o to chodziło..a przy okazji co to znaczy indukcja zupełna czym różni się od zwykłej?.
w 3 wydaje mi sie że trzeba skorzystac z de'moivra i sumu ciągu geometrycznego ale nie potrafie tego doprowadzic do jakiejs zadowalającej postaci.. z góry dziękuje za pomoc, pozdrawiam.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6470
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2586 razy
Pomógł: 683 razy

dowody ...

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 paź 2007, o 15:31

Jak idzie o ad 1 to po prostu brutalnie , tj wyliczyc t , \(\displaystyle{ t=\frac{i(1-z)}{z+1}}\), i ponownie wstawic! i jest ono istotnie rzeczywiste, tj im(t)=0

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

dowody ...

Post autor: przemk20 » 13 paź 2007, o 20:04

1. zauwaz, ze
\(\displaystyle{ z = \frac{1+it}{1-it} = \frac{1-t^2}{1+t^2} + i\frac{ 2t}{1+t^2 } \\
tg \phi = t \frac{1-t^2}{1+t^2} = \cos \phi, \ \frac{2t}{1+t^2} = \sin \phi \\}\)

3
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \cos kz = Re \sum_{k=1}^n (\cos kz + i \sin kz) =
Re \sum_{k=1}^n (\cos z + i \sin z)^k}\)

no i dalej stosujesz wzor na sumę n początkowych wyrazów szeregu geometrycznego

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

dowody ...

Post autor: Piotr Rutkowski » 13 paź 2007, o 20:10

Ja bym jednak postawił na dowód właśnie na szeregach, bo rozwinięcia sinx, cosx oraz e w szereg są dość znane. Poza tym dowód jest o tyle przyjemny, ż nie wymaga dużo miejsca

ODPOWIEDZ