Matematyka.pl

Witam.
Mam problem z rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ |2x + 2|+ 3x=|x|+ 2 }\)
Prawidłowy wynik według odpowiedzi to \(\displaystyle{ x=0}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ x \in (-\infty;-1)}\)
\(\displaystyle{ -2x - 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = -1 \notin (-\infty;-1)}\)

\(\displaystyle{ x \in \langle-1;0)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
I tu mam wątpliwości - równanie jest tożsamościowe, co oznacza, że rozwiązaniem jest cały przedział, tj. \(\displaystyle{ \langle-1;0)}\)
Jednak po podstawieniu za wartość x wartości np. -1 równanie nie jest prawdziwe. Gdzie popełniam błąd?

\(\displaystyle{ x \in \langle0;\infty)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 + 3x = x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)

W drugim przypadku nie `-3x` tylko `+3x`

Znak \(\displaystyle{ 3x}\) nie zmienia się w zależności od przyjmowanego x-sa (przedziału).

Dziękuję za wskazanie błędu. Dlaczego rozpatrując x w danym przedziale nie mam brać pod uwagę jaki znak będzie miało wyrażenie 3x?

W danym przedziale \(\displaystyle{ +3x}\) jest równe \(\displaystyle{ +3x}\) (odkrywcze)
Ale już \(\displaystyle{ |3x|}\) może być równe \(\displaystyle{ 3x}\) lub \(\displaystyle{ -3x}\) - właśnie w zależności z jakiego przedziału jest x.

A przedziały dobierasz po to aby zlikwidować pionowe kreski, inne zapisy nie zmieniają się.

Rozumiem. Dzięki

Dodano po 21 minutach 8 sekundach:
Mam jeszcze pytanie, co robię źle w tej nierówności:
\(\displaystyle{ |5 - |x|| > 3 }\)
\(\displaystyle{ 5 - |x| > 3 \vee 5 - |x| < -3}\)
\(\displaystyle{ -|x| > -2 \vee -|x| < -8}\)
1 nierówność:
\(\displaystyle{ -x > -2 \vee -x < 2 }\)
\(\displaystyle{ x < 2 \vee x > -2}\)
\(\displaystyle{ x \in R }\)

2 nierówność:
\(\displaystyle{ -x < -8 \wedge -x > 8}\)
\(\displaystyle{ x > 8 \wedge x < -8}\)
\(\displaystyle{ x \in \emptyset}\)

na koniec sumuje przedziały z tych dwóch nierówności, co daje \(\displaystyle{ x \in R}\)

Natomiast prawidłowa odpowiedź to: \(\displaystyle{ x \in (-\infty;-8) \cup (-2;2) \cup (8;\infty)}\)
Taki wynik otrzymałbym, gdybym w 1 nierówności wyznaczył część wspólną przedziałów, a w drugiej sumę, jednak nie zgadzają się znaki >/ <, żeby to zrobić. Gdzie robię błąd?

Myślę, że powinieneś się wczytac w definicję wartości bezwzględnej, bo wygląda na to, że dość losowo opuszczasz kreski i zmieniasz znaki.

\(-|x|>-2 \Leftrightarrow |x|<2 \Leftrightarrow -2<x<2\)
\(-|x|<-8 \Leftrightarrow |x|>8 \Leftrightarrow x>8 {\red \vee } x<-8 \)

Definicję wartości bezwzględnej znam, jednak napytam jeszcze trudności przy rozwiązywaniu niektórych przykładów. Z tego, co Pan napisał rozumiem, że jeśli jest minus przed wartością bezwzględną, to nie mogę jej sobie ot tak opuścić, tylko najpierw muszę się go pozbyć. Tylko nie wiem, dlaczego.

Patrz, są nierówności :
1) \(\displaystyle{ 2|x-7|<5}\)

2) \(\displaystyle{ 3|x|>11}\)

3) podobna do Twojej \(\displaystyle{ -|x|>-4}\)

Dla wygody (i ułatwienia sobie pracy) każdą z nich najpierw podzielimy przez liczbę, która jest przed wartością bezwzględną.
1) przez 2
2) przez 3
3) przez (-1), odwracamy znak nierówności. I tu masz odpowiedź na swoje pytanie. Nie tyle ,,musisz" pozbyć się minusa co powinieneś - aby nie popełniać błędów.
Zatem
\(\displaystyle{ -|x|>-4|:(-1)}\)
\(\displaystyle{ |x|<4}\)

Możez sobie kombinować jak chcesz, ale nie wolno różnych przypadków wrzucać do jednego worka. Nie staraj się doszukiwać jakiś magicznych regułek, tylko myśl. Popatrz:

Piszesz
\(-|x|> -2 \Leftrightarrow -x > -2 \vee -x<2\)

czyli bezmyślnie stosujesz regułkę \(|x|>a \Leftrightarrow x>a \vee x<-a\) ale przecież tu się obrazki nie zgadzają. Jeżeli nie zrozumiesz co robisz, to regułki nic Ci nie dadzą.

qwerty355 pisze: ↑28 sty 2020, o 22:29jeśli jest minus przed wartością bezwzględną, to nie mogę jej sobie ot tak opuścić, tylko najpierw muszę się go pozbyć. Tylko nie wiem, dlaczego.

Tak się składa, że rozwiązując nierówności z wartością bezwzględną stosujesz pewną regułkę, która mówi, jakie jest rozwiązanie w wypadku \(\displaystyle{ |x|<...}\), a jakie w wypadku \(\displaystyle{ |x|>...}\) Nie masz natomiast żadnej regułki na rozwiązywanie nierówności typu \(\displaystyle{ -|x|<...}\) czy \(\displaystyle{ -|x|>...}\). I dlatego pozbywasz się minusa.

Przy czym oczywiście najlepiej rozumieć, dlaczego regułki działają, ale to już zupełnie inna kwestia...

JK

Ok, czyli mój błąd polegał na tym, że nie podzieliłem przez liczbę, które stała przed wartością bezwzględną, a co za tym idzie nie zmienił się znak i zamiast części wspólnej wyznaczałem sumę. Dziękuję za wyjaśnienie