Matematyka.pl

Udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \cos x>1- \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
\(\displaystyle{ e ^{x} >1+x+ \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
Chyba trzeba policzyć pochodne i \(\displaystyle{ f(0)}\), ale nie wiem jak to wykorzystać, nie umiem sprawdzić kiedy pochodna jest większa od zera.

A wiesz, że \(\sin x<x\)? To scałkuj od `0` do `x`.
W drugim to samo z nierównością `e^x>1`.

W pierwszym zamiast scałkować, można też inaczej wykorzystać tę nierówność, tylko w nieco mocniejszej formie \(\displaystyle{ |\sin x|<x}\) (zresztą z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej natychmiast wynika \(\displaystyle{ |\sin x|< |x|, \ x\neq 0}\)), a mianowicie ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i z jedynki trygonometrycznej mamy
\(\displaystyle{ 1-\cos x=2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\)

Natomiast chyba rzeczywiście scałkowanie tych znanych nierówności stronami jest najbardziej naturalne.

NB pierwsza nierówność dostaje się przez dwukrotne scałkowanie nierówności \(\cos x\leq 1\)`

Można też lewe strony rozwinąć w szereg Maclaurina.

A co to da?

Narysuj wykresy lewej i prawej strony nierówności i popatrz.

Wykres to nie jest w zasadzie dowód, a jedynie przesłanka, że nierówność zachodzi. Ewentualnie może być dowodem, jeśli nie jest na oko lub w programie graficznym, lecz opiera się na zbadaniu przebiegu zmienności funkcji, ale wtedy wnioski z przebiegu zmienności bez samego wykresu są już dowodem.