Matematyka.pl

Witam,
Mam problem z rozwiązaniem zadania na jutrzejsze zaliczenie, a w zasadzie nie wiem jak się do niego zabrać.

Wykaż, że jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n jest inwolutywna, a macierz kwadratowa B stopnia n jest idempotentna, to rząd macierzy \(\displaystyle{ A^{T} * B * A}\) może być mniejszy od n.

Czy mógłbym liczyć na jakieś wskazówki związane z tym zadaniem? Z góry bardzo dziękuję za każdą odpowiedź

Jeśli inwolutywność \(\displaystyle{ A}\) znaczy \(\displaystyle{ A^{-1} = A}\), a idempotentność \(\displaystyle{ B}\) znaczy \(\displaystyle{ B^2 = B}\), to wystarczy wziąć jako \(\displaystyle{ A}\) macierz identyczności a jako \(\displaystyle{ B}\) - macierz zerową.