Wykaż prawdziwość wzorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Awatar użytkownika
raidmaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 20 lis 2006, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PK
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1 raz

Wykaż prawdziwość wzorów

Post autor: raidmaster » 13 paź 2007, o 14:01

Witam, podczas studiowania materiału z algebry zbiorów natrafiłem na zadanie:
Wykaż prawdziwość następujących wzorów:

1)\(\displaystyle{ A'\cap B'=(A\cup B)'}\)
2)\(\displaystyle{ A'\cup B'=(A\cap B)'}\)
3)\(\displaystyle{ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)}\)

Wiem, że dwa pierwsze są prawami de Morgana dla zbiorów, a ostatni to prawo łączności, ale nie wiem jak je "dobrze udowodnić". Wiem że można przedstawić to na rysunku i wtedy wszystko jest doskonale widoczne, ale to są studia i pewnie trzeba to robić w jakiś sposób z definicji.
Nie wiem jak zapisać przypadek 1 i 2. Czy ` (prim) oznacza negację? Czy A` to to samo co ~A?

1) \(\displaystyle{ L=x\in X\backslash A x\in X\backslash B}\)
\(\displaystyle{ P=\neg (x\in A x\in B)}\)?
Czy \(\displaystyle{ \neg (x\in A x\in B)}\) czyli \(\displaystyle{ x\not\in A x\not\in B}\) to to samo co \(\displaystyle{ (A\cup B)'}\)?

Prosiłbym o rozwiązanie chociaż jednego z tych zadań dla przykładu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Wykaż prawdziwość wzorów

Post autor: kuma » 13 paź 2007, o 15:04

2.
\(\displaystyle{ x\in(A'\cup B')\iff}\)\(\displaystyle{ x A' \cup\ x\in B'\iff}\)\(\displaystyle{ x \not\in A \cup\ x\not\in B\iff}\)\(\displaystyle{ x\not\in\ (A\cap B)\iff}\)\(\displaystyle{ x\in\ (A\cap B)'}\)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Wykaż prawdziwość wzorów

Post autor: Tristan » 13 paź 2007, o 15:04

Ten ' nie oznacza negacji tylko dopełnienie do całej przestrzeni, tj. \(\displaystyle{ A'=X \setminus A}\).
W 1) mamy więc
\(\displaystyle{ x \in A' \cap B' \Longleftrightarrow x \in X \setminus A \wedge x \in X \setminus B \Longleftrightarrow (x \in X \wedge x \notin A) \wedge ( x \in X \wedge x \notin B) \Longleftrightarrow x \in X \wedge ( x \notin A \wedge x \notin B) \Longleftrightarrow x \in X \wedge x \notin (A \cup B) \Longleftrightarrow x \in X \setminus (A \cup B) \Longleftrightarrow x \in (A \cup B)'}\).
Z 2) jest analogicznie.

Co do diagramów Vienna, to jest to po prostu rysunkowa wersja tzw. "tabelki", więc też jest to dowód.

invx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 8 paź 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: XYZ
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

Wykaż prawdziwość wzorów

Post autor: invx » 13 paź 2007, o 22:10

od kiedy
\(\displaystyle{ x\in A\wedge x\in B = A \cup B}\)

chyba

\(\displaystyle{ x\in A\wedge x\in B = A \cap B}\)


Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28565
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4688 razy

Wykaż prawdziwość wzorów

Post autor: Jan Kraszewski » 13 paź 2007, o 23:05

kuma pisze:...\(\displaystyle{ x A' \cup\ x\in B'\iff}\)\(\displaystyle{ x \not\in A \cup\ x\not\in B\iff}\)...
Tak nie wolno pisać! Ja daję za coś takiego zero punktów. Powinno być:
\(\displaystyle{ x A' \lor\ x\in B'\iff}\)\(\displaystyle{ x \not\in A \lor\ x\not\in B}\)
JK

[ Dodano: 14 Października 2007, 00:07 ]
Tristan pisze:Co do diagramów Vienna, to jest to po prostu rysunkowa wersja tzw. "tabelki", więc też jest to dowód.
No, to już zależy od prowadzącego. Ja np. nie dopuszczam takich dowodów...
JK

[ Dodano: 14 Października 2007, 00:10 ]
invx pisze:od kiedy
\(\displaystyle{ x\in A\wedge x\in B = A \cup B}\)
chyba
\(\displaystyle{ x\in A\wedge x\in B = A \cap B}\)
Cóż, invx, ani jeden, ani drugi zapis nie ma sensu z matematycznego punktu widzenia... A poza tym zauważ, że ani kuna, ani Tristan niczego takiego nie twierdzili...
JK

ODPOWIEDZ