[Planimetria] Potęga punktu

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Tom444
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 9 lip 2007, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 1 raz

[Planimetria] Potęga punktu

Post autor: Tom444 » 13 paź 2007, o 13:21

Witam:) mam takie oto zadanie:
Okrąg \(\displaystyle{ O}\) jest styczny do prostej \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Cięciwa \(\displaystyle{ AB}\) okręgu, jest równoległa to \(\displaystyle{ k}\), punkt \(\displaystyle{ C}\) nalezy do prostej \(\displaystyle{ k}\),a odcinki \(\displaystyle{ AC \ i \ BC}\) odpowiednio przecinaja okrag w punktach \(\displaystyle{ E \ i \ F}\). Wykazać że prosta \(\displaystyle{ EF}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
Pozdrawiam!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[Planimetria] Potęga punktu

Post autor: MarcinT » 13 paź 2007, o 22:08

Hmm no to tak. Radzę patrzeć na rysunek przy analizowaniu mojego rozwiązania

Bez straty ogólności niech C leży po tej samej stronie D co B (zagadanienie jest symetryczne a to takie założenie żeby łatwiej było dyskutować rozwiązanie).
Po za tym rozważamy sutuację gdy F jest powyżej prostej AB. Przypadek drugi jest analogiczny sam go udowodnisz korzystajac z mojego rozumowania.

Przez punkt prowadzimy prostą równoległą do BC która przecina dany okrąg w punkcie G oraz prostą FE w punkcie H.

Ponieważ CD||AB \(\displaystyle{ \alpha = \angle DCB = \Angle FBC}\)
\(\displaystyle{ \angle FEA = }\) z kątów opartych na tym samym łuku.
Dalej z wierzchołkowych \(\displaystyle{ \angle HEC = }\) z załozenia że DG||BC wynika, że \(\displaystyle{ \angle HDC= }\) zatem punkt HDEC leżą na jednym okręgu.
stąd \(\displaystyle{ \angle EHC = \angle CDE}\) i poniewaz DC jest stycze do okręgu to \(\displaystyle{ \angle CDE=\angle DFE}\) (znane twierdzenie łatwo udowdnisz to tak jakby graniczny przypadek tw o katach opartych na tym samym łuku) zatem FD||HC i DFCH jest równoległobokiem z przekątnymi FH i DC. Jak wiemy przekątne w równoległoboku się połowią, a to daje tezę.

ODPOWIEDZ