Matematyka.pl

Szukam prostszego rozwiązania tego zadania.
Dla jakich liczb a i b wielomianu \(\displaystyle{ x ^{2} -bx +1 }\) jest podzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}+bx+a}\).

Ja mam taki pomysł:
W(x)=\(\displaystyle{ x ^{2} -bx +1 }\)
V(x)=\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}+bx+a}\)

Wielomian W(x) jest podzielny przez V(x) gdy pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1} }\) i \(\displaystyle{ x _{2} }\) wielomianu W(x) spełniają równanie:
\(\displaystyle{ V(x _{1}) = 0 }\)
lub
\(\displaystyle{ V(x _{2})=0}\)?

Nie mogę znaleźć innego rozwiązania. Proszę o pomoc

\(V(x)=W(x)(x-c)\) .
`c` tez nie znasz, ale jak to wymnożysz i porównasz współczynniki, to pewnie coś wyjdzie

Dzięki!

V(x) : W(x) = (x-c) jakiś dwumian \(\displaystyle{ \Rightarrow V(x) = W(x) \cdot (x-c)=x ^{3}-(b+c)x ^{2}+(bc+1)x-c }\)
porównując z V(x) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b+c=1 \\ bc+1=b \\ a = -c \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=1+a \\ 1-ba=b \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ 1-(1+a)a=1+a \Leftrightarrow -a-a ^{2}=a \Rightarrow a ^{2}+2a=0 }\)
\(\displaystyle{ a=0 \vee a=-2 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=1 \end{cases} \vee \begin{cases} a=-2 \\ b=-1 \end{cases} }\)
cd.