Matematyka.pl

Witam,

Mam problem z następującymi granicami. Proszę o wskazówki:

1. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } = (\cos x)^{ \frac{1}{x} } }\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } = \left( \frac{4}{ \pi } \arccos x \right)^{ \frac{1}{x} } }\)

Pierwsza:
mamy \(\displaystyle{ 1\ge \cos x\ge 1-\frac{x^{2}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\), zatem
\(\displaystyle{ 1\ge (\cos x)^{\frac{1}{x}}\ge \left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left(0, \sqrt{2}\right)}\).
Wystarczy więc obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=1}\) i powołać się na twierdzenie o trzech funkcjach.


Druga:
wykorzystaj zależność \(\displaystyle{ \arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x}\). Dalej możesz skorzystać z takiego przekształcenia:
\(\displaystyle{ t=e^{\ln t}}\).

Drugie zadanie byłoby ciekawsze, gdyby chodziło o

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{\pi} \arccos x \right)^{\frac{1}{x}}}\),

bo obecnie granica w oczywisty sposób odpowiada symbolowi \(\displaystyle{ 2^{\pm \infty}}\), czyli nie istnieje.

Pomyliłem sie tam powinno być 2. Poproszę o wskazówkę.

cropp pisze: 24 sty 2020, o 09:47 Witam,

Mam problem z następującymi granicami. Proszę o wskazówki:

1. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } = (\cos x)^{ \frac{1}{x} } }\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } = \left( \frac{2}{ \pi } \arccos x \right)^{ \frac{1}{x} } }\)

W takim razie moje wskazówki pozostają aktualne.

Ok. a skąd się bierze w 1 przykładzie ta nierówność obustronna ?

\(\displaystyle{ 1\ge \cos x}\) to powinieneś znać ze szkoły, kwestia zbioru wartości cosinusa dla argumentów rzeczywistych. Ta druga nierówność jest trochę bardziej złożoną sprawą:
skorzystamy ze znanej nierówności \(\displaystyle{ |\sin x|\le x}\) w nieujemnych, która natychmiast wynika z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej chociażby, oraz ze wzoru na cosinus podwojonego kąta.
Mamy więc
\(\displaystyle{ \cos x=1-2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\ge 1-2\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^{2}=1-\frac{x^{2}}{2}}\)