Matematyka.pl

\(\displaystyle{ }\)Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność tego rozumowania? Zadanie: Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ k}\) suma \(\displaystyle{ k}\) -kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez \(\displaystyle{ k}\)?
Suma \(\displaystyle{ k}\) - kolejnych liczb całkowitych dodając od końca to: \(\displaystyle{ k+k-1+k-2+...+1}\), czyli ciąg arytmetyczny i \(\displaystyle{ S_{k}= \frac{ k^{2} +k}{2} }\), Dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystych w postaci \(\displaystyle{ k=2l+1}\), gdzie \(\displaystyle{ l \in Z}\), dostałem wynik \(\displaystyle{ \frac{ 4l^{2} +6l+2}{2} = 2l^{2} +3l+1 }\). Ponieważ \(\displaystyle{ (2l^{2} +3l+1 ):(2l+1)=l+1=m}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in Z}\), to mogę wsynuć tezę, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego suma \(\displaystyle{ k}\) -kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez \(\displaystyle{ k}\)? A następnie w analogiczny sposób sprawdzić to dla \(\displaystyle{ k}\) parzystych? Czy może jest jakieś twierdzenie o którym się nie mówi w szkole, a wynika z niego wprost jakaś własność?

Jak dla mnie to zakładasz tu szczególną postać takiej sumy (ostatecznie okaże się nie mieć to znaczenia ale to wymaga komentarza). Nie jest powiedziane, że zaczynamy sumę od \(\displaystyle{ 1}\) czy od \(\displaystyle{ k}\). Ciąg \(\displaystyle{ k}\) kolejnych liczb całkowitych to

\(\displaystyle{ n+1,n+2,...,n+k}\)

Dla jakiegoś \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\)

A suma jego wyrazów to:

\(\displaystyle{ nk+ \frac{1+k}{2}k }\)

Aby to wyrażanie podzieliło się przez \(\displaystyle{ k}\) ułamek \(\displaystyle{ \frac{1+k}{2} }\) musi być całkowity, a będzie całkowity, gdy \(\displaystyle{ 1+k}\) podzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) (czyli będzie parzyste), czyli \(\displaystyle{ k}\) będzie nieparzyste.

Dziękuje za wyjaśnienie