Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera
: 23 sty 2020, o 20:27
Przenoszę niżej cytowany problem do nowego tematu, żeby mogli się Państwo nad nim zastanowić niezależnie od zadania rozważanego uprzednio. Rzecz o ciągu niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Rademachera zadanych poniższym wzorem (mam nadzieję, że dobrze go wymyśliłem) i jego granicy.
FasolkaBernoulliego pisze: ↑23 sty 2020, o 18:03 Przepraszam za odświeżanie tematu, ale moje pytanie dotyczy dokładnie tego zadania. Kontekst i samo zadanie znaleźć można na stronie .
Samo zadanie jest chyba dość proste (ciąg nie może zbiegać wg prawdopodobieństwa), natomiast zastanawia mnie inny, bezpośrednio powiązany problem. Rozpatrzmy \(\displaystyle{ \left( \Omega = (0,1), \mathcal{F} = \mathcal{B}(\Omega) \right)}\) wyposażoną w miarę Lebesgue'a i zdefiniujmy dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ X_n (\omega) = \begin{cases} -1, \quad \omega \in A_n \\ \ 1, \quad \omega \in B_n \\ \ 0, \quad \text{ w pozostałych przypadkach}\end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ A_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k}{2^n}, \frac{2k+1}{2^n} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ B_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k+1}{2^n}, \frac{2k+2}{2^n} \right) }\).
Zmienne \(\displaystyle{ X_n}\), o ile dobrze myślę, są niezależne i mają rozkłady jak w zadaniu. Jaka jest sensowna granica \(\displaystyle{ X_n}\)? W sensie słabym zdaje się, że każdy z elementów tego ciągu jest jego granicą, ale czy da się wybrać granicę w jakimś rozsądnym sensie "lepszą"?