żS-3, od: *Kasia, zadanie 4

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-3, od: *Kasia, zadanie 4

Post autor: Liga » 13 paź 2007, o 12:56

*Kasia pisze:Na okręgu umieszczono \(\displaystyle{ 10}\) liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{j}}\) o sumie równej \(\displaystyle{ 100}\) ale tak, że po dodaniu dowolnych trzech kolejnych z nich, otrzyma się co najmniej \(\displaystyle{ 29.}\) Niech \(\displaystyle{ a}\) to będzie maksimum spośród wszystkich \(\displaystyle{ x_{j}.}\) Znajdź możliwie największa wartość \(\displaystyle{ a.}\)

Rozwiązanie:
Ponieważ suma trzech kolejnych z nich wynosi co najmniej 29, to suma dziewięciu kolejnych wynosi co najmniej \(\displaystyle{ 3\cdot 29=87}\). Z tego wynika, że dziesiąta liczba wynosi co najwyżej\(\displaystyle{ 100-87=13}\).
Wyliczenia te nie uwzględniały które konkretnie liczby sumujemy, zatem
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{j \ \{1,2,...,10\} } x_j q 13}\)
Wystarczy tylko udowodnić, że możliwa jest sytuacja, w której \(\displaystyle{ a=13}\). Warunk ten spełniają na przykład liczby: 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 13.

Odp. Możliwie największa wartość \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ 13}\).
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:15 przez Liga, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6915
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

żS-3, od: *Kasia, zadanie 4

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 paź 2007, o 13:29

oh , max , tj 5 pkt

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-3, od: *Kasia, zadanie 4

Post autor: scyth » 13 paź 2007, o 16:28

W końcu rozwiązanie bez denerwującego założenia, że któreś konkretne z tych x jest równe a. 5/5

ODPOWIEDZ