Matematyka.pl

Zbadać ekstrema funkcji oraz je wyznaczyć, o ile istnieją

\(\displaystyle{ f(x, y) = (x − y)^2 + (y − 1)^3}\)

Proszę o pomoc z takim zadaniem, przyznam że ma problem kiedy wyznacznik wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) i nie wiem co powinienem dalej robić.

Ekstremum globalne nie istnieje, a by się o tym przekonać, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x:=y, \ y\rightarrow +\infty}\) (brak maksimum globalnego) oraz \(\displaystyle{ x:=y, \ y\rightarrow -\infty}\) (brak minimum globalnego).
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego to zerowanie się pochodnych cząstkowych, a to daje układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2(x-y)=0\\2(y-x)+3(y-1)^{2}=0\end{cases}}\)
czyli jedyny punkt krytyczny to \(\displaystyle{ (1,1)}\). W tym punkcie nie ma ekstremum lokalnego, ponieważ
\(\displaystyle{ f(1+\epsilon, 1+\epsilon)>f(1,1), \ f(1-\epsilon, 1-\epsilon)<f(1,1)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\).

Mógłbyś wytłumaczyć dokładniej jak sprawdzasz istnienie ekstremów globalnych

A wiesz, co to jest ekstremum globalne? Wystarczy obliczyć te granice, wychodzą odpowiednio \(\displaystyle{ +\infty}\) oraz \(\displaystyle{ -\infty}\), to pierwsze pokazuje, że funkcja nie ma maksimum globalnego, czyli największej wartości, a to drugie wykazuje, że funkcja nie ma minimum globalnego, czyli najmniejszej wartości.

Dodano po 1 minucie 39 sekundach:
NB w sumie nie trzeba tego robić, możesz pominąć ten krok, gdyż funkcja jest różniczkowalna na \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), a ekstremum globalne jest też w szczególności ekstremum lokalnym, a więc tutaj mogłoby być tylko we wspomnianym punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\), ale go nie ma, co pokazuje dalsza część mojej poprzedniej wypowiedzi.

Ale podstawiasz za jedną ze zmiennych drugą tak?

Zapomnij o tym fragmencie, ja go wycofuję, ja cofam wszystkie sęki na świecie!

W takim razie dziękuję bardzo za pomoc