Matematyka.pl

Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów, wyjaśnij dla jakich wartości naturalnych \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^{3}+1 }\) jest liczbą pierwszą, odpowiedź uzasadnij.

Masz napisane, z czego masz skorzystać. Zatem skorzystaj.

JK

No to rozpisać umiem \(\displaystyle{ (n+1)( n^{2} -n+1)}\), wiem też, że musi się dzielić tylko przez jeden i samą siebie, ale nie umiem wyjaśnić, dla jakich \(\displaystyle{ n}\). Będę bardzo wdzięczny za podpowiedź.

Widzisz liczbę, która jest iloczynem dwóch czynników. Żeby była pierwsza, to jeden z tych czynników musi być jedynką. Sprawdź, co z tego wynika na temat \(n\).

JK

Hmm pierwszy nawias będzie jedynką tylko dla \(\displaystyle{ n=0}\), ale to odpada bo drugi nawias też da jedynkę. Zatem w drugim nawiasie muszę otrzymać jeden, \(\displaystyle{ n^{2}-n+1=1 }\) po przeniesieniu \(\displaystyle{ n^{2}-n=0 }\), czyli \(\displaystyle{ n=0 \vee n=1 }\). Czyli tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\) ?

Wypadałoby jeszcze sprawdzić, czy dla \(\displaystyle{ n=1}\) faktycznie dostaniesz liczbę pierwszą.

JK