Matematyka.pl

Dobry. Robię zadanie już chwilę i nie wiem co źle robię. Nie jestem do końca pewien różniczkowania szeregów, ale w obu przypadkach mam zły wynik
Potrzebuję policzyć piątą pochodną w zerze funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\sin^2x}\)
Robię to w ten sposób
\(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x=1 \\
\sin^2x=1-\frac{1+\cos2x}2=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{2n!}x^{2n}}\)
tutaj mam problem przy różniczkowaniu szeregu.
Zapisałem kilka stron próbując otrzymać wynik poprawny, jednak w żadnym przypadku mi nie wyszło. Próbowałem również całkować szereg.
Mógłby ktoś mi tylko w tym punkcie pomóc ? Dalej już wiem jak robić (tak mi się wydaje )

Rozważmy dowolny szereg potęgowy

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\).

Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy kolejno

\(\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot n x^{n-1} \\[1ex]
f''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} a_n \cdot n(n-1) x^{n-2} \\[1ex]
\vdots \\
f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n \cdot n^{\underline{k}} x^{n-k}}\)

gdzie \(\displaystyle{ n^{\underline{k}}}\) oznacza . Podstawienie do ostatniej linijki \(\displaystyle{ x = 0}\) daje wzór:

\(\displaystyle{ f^{(k)}(0) = a_k \cdot k^{\underline{k}} = a_k \cdot k!}\)

Czyli właściwie tak jak myślałem, jednak przykladowo licząc dla
\(\displaystyle{ f^{(4)}(x)}\)
dalej mi nie wychodzi
Mam
\(\displaystyle{ \sin^2(x)=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{(2n)!}x^{2n}}\)
zatem
\(\displaystyle{ f^{(4)}(0)=\frac{1-\frac{(-1)^2 \cdot 4^2}{4!}}{2} \cdot 4!}\)
Co robię nie tak ?


Kiedy miałem zadanie typu
\(\displaystyle{ f(x)=x^2e^x}\) wszystko mi wychodzi ...

Raczej

\(\displaystyle{ f^{(4)}(0) = \frac{-(\cos 2x)^{(4)}(0)}{2} = \frac{- \frac{(-1)^2 \cdot 4^2}{4!} \cdot 4!}{2} = -8}\)

Dlaczego? Nie rozumiem tego. Co się stało z 1 przed cos

Skoro \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2}}\), to przy pierwszym różniczkowaniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) zniknie, więc liczy się tylko drugi składnik.

Możesz również rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ \sin 2x }\) w szereg i scałkować wyraz po wyrazie.

Okay chyba rozumiem jak to działa teraz Wcześniej nie miałem tego typu zadań ze dodawanymi/odejmowanymi stałymi przed szeregiem.

A po co tu szereg jak kolejne pochodne to `\sin 2x,\ 2cos 2x,\ -4\sin 2x,\ -8\cos 2x`?

To prawda, w tym przypadku akurat nie jest konieczne używanie szeregu jednak chciałem się dowiedzieć jak to działa w takim przykładzie.