Zadanie ze zmienną siłą

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
masteronskis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 sty 2020, o 14:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Zadanie ze zmienną siłą

Post autor: masteronskis » 15 sty 2020, o 14:37

Witam serdecznie na forum,
Proszę Państwa, mam problem z pewnym zadaniem. Pozwolę sobie zacytować jego treść
Ciało o ciężarze 100 N porusza się pod wpływem zmiennej siły F= p(q-t), gdzie p=100N/s, q=1s.
Po jakim czasie ciało zatrzyma się, jeżeli w chwili t=0 prędkość jego wynosiła v0 = 0.2 m/s, a siła
miała kierunek prędkości. Jaką drogę przebędzie ciało do chwili zatrzymania się ?
A mianowicie, uporałem się z policzeniem czasu w następujący sposób:
- policzyłem pracę W jako \(\displaystyle{ W = \int_{}^{} F(t) dt = \int_{}^{} (100 - 100t) dt = 100t - 50t^{2} }\)
- zbadałem miejsca zerowe powstałej funkcji, co dało t = 2s
- poza tym obliczyłem czas potrzebny na 'wyhamowanie' z prędkości początkowej, co dało w rezultacie t = 0,02s a suma obliczonych czasów to wynik więc t = 2,02s

Moja prośba - czy mógłby mnie ktoś nakierować w jaki sposób policzyć drogę, i czy moje obliczenia wyżej są poprawne?
Pozdrawiam
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5531
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1211 razy

Re: Zadanie ze zmienną siłą

Post autor: janusz47 » 15 sty 2020, o 16:27

Proponuję ze wzoru na pracę, obliczenie drogi \(\displaystyle{ s(t) }\)

\(\displaystyle{ W(t) = F(t)\cdot s(t). }\)

Prędkość ciała w chwili \(\displaystyle{ t }\) obliczyć jako pierwszą pochodną drogi.

masteronskis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 sty 2020, o 14:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Re: Zadanie ze zmienną siłą

Post autor: masteronskis » 15 sty 2020, o 17:07

mógłbym prosić o jaśniejsze wytłumaczenie?
Mam formalnie podstawić mój wyliczony wzór \(\displaystyle{ 100t - 50t^2}\) za \(\displaystyle{ W(t)}\)? a za \(\displaystyle{ F(t) = p(1-t)}\)?
Ostatnio zmieniony 15 sty 2020, o 19:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2252
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 537 razy

Re: Zadanie ze zmienną siłą

Post autor: siwymech » 15 sty 2020, o 19:19

Propozycja rozw.
...............................
1. Dynamiczne równanie wzdłuż przyjetej poziomej osi x i obl. przyśpieszenia liniowego;
\(\displaystyle{ \frac{G}{g} \cdot \ddot x= 100 (qt)}\), (1)
\(\displaystyle{ \ddot x}\)- przyśpieszenie ciała
\(\displaystyle{ m= \frac{G}{g} = 10 kg}\),
\(\displaystyle{ \ddot x= \frac{100(qt)}{10} }\)
Teraz przyspieszenie ma wartość
\(\displaystyle{ \ddot x=10(qt)}\), (2)
2.Prędkość ciała \(\displaystyle{ \dot x}\)- całkujemy równanie (2)
\(\displaystyle{ \dot x=v=10q \frac{t ^{2} }{2} +C}\), (3)
Wyznaczamy stałą C z warunku początkowego:\(\displaystyle{ C= v_{o} =0,2 m/s}\)
/ bo \(\displaystyle{ t=0, v=v _{o} =0,2 m/s}\)/
2.1 Ostatecznie prędkość ciała
\(\displaystyle{ \dot x=v=10q \frac{t ^{2} }{2} +0,2}\), (4)
3. Ponownie całkujemy równanie (4) i znajdujemy równanie ruchu ciała \(\displaystyle{ x(t)}\) ,
\(\displaystyle{ x=....}\)
4. Znajdujemy drogę zatrzymania , wyznaczajac czas zatrzymania z równania (4) , bo wiemy że po czasie \(\displaystyle{ t _{1} , v=0}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5531
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1211 razy

Re: Zadanie ze zmienną siłą

Post autor: janusz47 » 15 sty 2020, o 21:47

Metoda rozwiązania zadania Kolegi siwymech, wykorzystująca aparat prostych równań różniczkowych jest elegancka.

Pozwoli Kolega, że jeszcze raz rozwiążę.

\(\displaystyle{ x^{''}(t) = \frac{100\cdot (1 - t)}{10} }\)

Równanie przyśpieszenia ciała

\(\displaystyle{ x^{''}(t) = a(t) = 10\cdot (1- t) \ \ (1)}\)

Całkujemy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ x^{'}(t) = v(t) = 10\int (1 - t )dt = 10 \left(t -\frac{1}{2}t^2 \right) + C }\)

Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego \(\displaystyle{ v(0)= v_{0} = 0,2 \frac{m}{s} }\)

\(\displaystyle{ 0,2 = 10 \left(0 - \frac{1}{2}\cdot 0^2 \right) + C \rightarrow C = 0,2 \frac{m}{s}. }\)

Równanie różniczkowe prędkości ciała

\(\displaystyle{ x^{'}(t) = v(t) = 10 \left (t -\frac{1}{2}t^2 \right) + 0,2 \ \ (2) }\)

Ciało zatrzyma, gdy \(\displaystyle{ v(t) = 0 }\)

\(\displaystyle{ 0 = 10\left( t -\frac{1}{2}t^2 \right) +0,2 = 0 }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}t^2 -t -0,02 = 0 }\)

\(\displaystyle{ t^2 -2t -0,04 = 0 }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 4 + 0,16 = 4,16 }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{2 + \sqrt{4,16}}{2} \approx \frac{2+2,04}{2} = 2,2 s.}\)

Całkujemy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ x(t) = s(t) = 10 \left(\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{6}t^3\right) + D }\)

Stała \(\displaystyle{ D }\) wyznaczamy z warunku początkowego \(\displaystyle{ x(0) = 0, \ \ D = 0. }\)

Równanie drogi ciała

\(\displaystyle{ x(t) = s(t) = 10 \left(\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{6}t^3 \right).}\)

Ciało do zatrzymania przebyło drogę

\(\displaystyle{ s(2,2) = 10 \left( \frac{1}{2}\cdot (2,2)^2 - \frac{1}{6}(2,2)^3 \right) \approx 6,45 m.}\)

Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2252
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 537 razy

Re: Zadanie ze zmienną siłą

Post autor: siwymech » 16 sty 2020, o 14:16

Dziękuję, błędnie( nie te, oczy) odczytałem receptę na siłę P.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3426
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 630 razy

Re: Zadanie ze zmienną siłą

Post autor: AiDi » 16 sty 2020, o 15:00

janusz47 pisze:
15 sty 2020, o 16:28
Proponuję ze wzoru na pracę, obliczenie drogi \(\displaystyle{ s(t) }\)

\(\displaystyle{ W(t) = F(t)\cdot s(t). }\)
Warto dodać, że powyższy wzór nie jest prawdziwy dla sił które nie są stałe w czasie.

ODPOWIEDZ