Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc czy moje rozumowanie jest poprawne (a może istnieje łatwiejszy sposób?). Jeśli ktoś mógłby być również tak miły to mógłby napisać jakie założenia trzeba zawrzeć przy moich zapisach (bardzo jest to przestrzegane i punktowane u mnie na egzaminie).
Polecenie: Rozwiń w szereg Maclaurina funkcje.
\(\displaystyle{ \frac{x^3}{(4+x^2)^2} }\)
Najpierw wychodzę z tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n }\)więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4-(-x)}= \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-(- \frac{x}{2}) } = \frac{1}{4}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{-x}{2}\right)^n }\)
stąd wiem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{4+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n} }{4\cdot2^n} }\)
Następnie będę liczyć pochodną po obu stronach:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4+x^2}\right)' = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n} }{4\cdot2^n}\right)' }\)
\(\displaystyle{ \frac{-2x}{(4+x^2)^2}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n-1} \cdot n}{2 \cdot 2^n} }\)
dzielenie przez \(\displaystyle{ (-2 }\)):
\(\displaystyle{ \frac{x}{(4+x^2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n-1} \cdot n}{(-4) \cdot 2^n} }\)
mnoże razy \(\displaystyle{ x^2 }\):
\(\displaystyle{ \frac{x^3}{(4+x^2)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1} \cdot n}{(-4) \cdot 2^n}}\)

Poza błędną równością
\(\displaystyle{ \frac{1}{4-(-x)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}}\),
która wygląda na efekt trywialnego błędu w rachunkach,
nie mam większych zastrzeżeń.
Powinno z tego wyjść
\(\displaystyle{ \frac{1}{4+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{4\cdot 4^{n}}}\)
i dalej analogicznie, jak czyniłeś.

Można też postąpić tak:
gdy masz już równość (dla odpowiednich \(\displaystyle{ x}\)!)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{4\cdot 4^{n}}}\),
to możemy skorzystać z twierdzenia Mertensa o mnożeniu szeregów, by uzyskać, że dla \(\displaystyle{ |x|<2}\) jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left(4+x^{2}\right)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{n-k}x^{2(n-k)}}{4\cdot 4^{n-k}}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{4\cdot 4^{k}}\\=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{16}\cdot \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{4^{n}}}\)
i po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ x^{3}}\) stronami mamy
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{\left(4+x^{2}\right)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{16}\frac{(-1)^{n}x^{2n+3}}{4^{n}}}\)
Jeśli teraz presuniemy indeksy o jeden, to mamy
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{\left(4+x^{2}\right)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4}\cdot \frac{(-1)^{n-1}x^{2n+1}}{4^{n}}}\)
a po spostrzeżeniu, że \(\displaystyle{ (-1)^{n-1}=-1\cdot (-1)^{n}}\) oraz że u Ciebie pierwszy wyraz jest równy zero, widzimy, że to ten sam wynik, co u Ciebie po poprawieniu niedobrego
\(\displaystyle{ \frac{1}{4-(-x)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}}\)
na dobre
\(\displaystyle{ \frac{1}{4-(-x)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{4}\right)}}\)

Niemniej jednak jest to „trochę" przeintelektualizowane, zaleta jest taka, że akurat w tym przypadku trudniej się tu rąbnąć w rachunkach niż przy liczeniu pochodnej (czego wszelako udało Ci się uniknąć, drobniutki błąd był wcześniej).