Matematyka.pl

Witam mam problem z takim zadaniem. Mam rozstrzygnąć czy dany zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią wektorową w \(\displaystyle{ \RR^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{2}=\{[x,y,z] \in \RR^{3} : x^{2}-z^{2}=0\}}\)

I teraz tak. Wiem, że aby \(\displaystyle{ V}\) było podprzestrzenią wektorową w \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) muszą być spełnione warunki:
1. \(\displaystyle{ \vec{a} \in V, \vec{b} \in V \Rightarrow \vec{a} + \vec{b} \in V }\) - działa operacja dodawania wektorów.
2. \(\displaystyle{ \vec{x} \in V \Rightarrow c \cdot \vec{x} \in V }\) - działa operacja mnożenia przez skalar.


W poprzednim przykładzie z mojej książki zadanie wykonałem tak, ale nie wiem czy jest dobrze.
\(\displaystyle{ V_{1}=\{[x,y,z] \in \RR^{3} : 3x-7y=z\}}\)

\(\displaystyle{ \vec{a} = [3x_{1}, -7y_{1}, 3x_{1}-7y_{1}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = [3x_{2}, -7y_{2}, 3x_{2}-7y_{2}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = [3x_{1} + 3x_{2}, -7y_{1} -7y_{2}, 3x_{1}-7y_{1}+3x_{2}-7y_{2}] = [3(x_{1}+x_{2}), -7(y_{1}+y_{2}), 3(x_{1}+x_{2})-7(y_{1}+y_{2})]}\)

\(\displaystyle{ c \cdot\vec{a} = [3x_{1}\cdot c, -7y_{1} \cdot c ,(3x_{1} -7y_{1}) \cdot c]}\)

Nie wiem czy wykonałem to rozumowanie dobrze ani nie wiem jakie wnioski z tego wyciągnąć.

Abbion pisze: 13 sty 2020, o 06:59Witam mam problem z takim zadaniem. Mam rozstrzygnąć czy dany zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią wektorową w \(\displaystyle{ \RR^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{2}=\{[x,y,z] \in \RR^{3} : x^{2}-z^{2}=0\}}\)

Jak popatrzysz na to w ten sposób:

\(\displaystyle{ V_{2}=\{[x,y,z] \in \RR^{3} : x=z\lor x=-z\}}\)

to widać, że jest to suma dwóch płaszczyzn, więc nie ma szans być podprzestrzenią liniową. Teraz trzeba tylko wskazać kontrprzykład, czyli dwa wektory z \(\displaystyle{ V_2}\), których suma nie jest w \(\displaystyle{ V_2}\).

Abbion pisze: 13 sty 2020, o 06:59W poprzednim przykładzie z mojej książki zadanie wykonałem tak, ale nie wiem czy jest dobrze.
\(\displaystyle{ V_{1}=\{[x,y,z] \in \RR^{3} : 3x-7y=z\}}\)

\(\displaystyle{ \vec{a} = [3x_{1}, -7y_{1}, 3x_{1}-7y_{1}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = [3x_{2}, -7y_{2}, 3x_{2}-7y_{2}]}\)

Źle. Masz badać wektory z \(\displaystyle{ \RR^{3}}\). I masz sprawdzać, czy spełniają stosowne warunki. Zatem i wektory są złe i żadnego sprawdzenia nie ma.

JK

No dobrze to skoncentrujmy się na zbiorze \(\displaystyle{ V_{1}}\) Jak mogę stworzyć ten wektor w \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) na podstawie tych danych?

Pokazujesz, że \(\displaystyle{ V_1}\) jest zamknięte na dodawanie wektorów i na mnożenie wektorów przez skalar. Popatrzmy na ten pierwszy warunek.

Ustalasz dwa dowolne wektory \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1,z_1\right), \left( x_2,y_2,z_2\right)\in V_1 }\). Twoim celem jest pokazanie, że \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1,z_1\right)+ \left( x_2,y_2,z_2\right)\in V_1 }\). Z definicji zbioru \(\displaystyle{ V_1}\) wiesz, że \(\displaystyle{ 3x_1-7y_1-z_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ 3x_2-7y_2-z_2=0}\). Stąd wnioskujesz, że \(\displaystyle{ \left( 3x_1-7y_1-z_1\right)+(3x_2-7y_2-z_2)=0}\). Ale to oznacza, że \(\displaystyle{ 3( x_1+x_2)-7(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=0}\), skąd wniosek, że \(\displaystyle{ \left( x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\right)\in V_1 }\). Ale to jest dokładnie to, co chciałeś, bo \(\displaystyle{ \left( x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\right)=\left( x_1,y_1,z_1\right)+ \left( x_2,y_2,z_2\right) }\).

Ze skalarem robisz analogicznie.

JK