Matematyka.pl

Uwolnij dane wyrażenie od niewymierności w mianowniku:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{5}+ \sqrt[3]{7} +1} }\)
Pierwsza myśl była taka:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}= \sqrt[6]{125} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7}= \sqrt[6]{49} }\)
i tak uwolnić to wyrażenie od niewymierności. Aczkolwiek potem nie wiem co dalej z tym.
Bardzo proszę chociaż o wskazówkę.

A spróbuj może tak: niech `a=\sqrt5+1`. Wtedy stosując wzór `p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)` dostaniesz
\( \frac{1}{ \sqrt{5}+ \sqrt[3]{7} +1} = \frac{1}{ \sqrt[3]{7} +a} =\frac{\sqrt[3]{49}-a\sqrt[3]{7}+a^2}{7+a^3}\)

Z tym ostatnim mianownikiem pewnie sobie poradzisz

Więc po wykonaniu wszystkich obliczeń wynik to:
\(\displaystyle{ \frac{2}{8}( \sqrt{5}-1)+ \frac{ \sqrt[3]{7} }{8}( \sqrt{5}-3)+ \frac{ \sqrt[3]{49} }{8}( \sqrt{5} -2)}\)
Zgadza się?

Spytaj Wolframa (każ mu policzyć różnicę miedzy dwiema liczbami)

Dziękuję

Po co właściwie usuwa się niewymierności z mianownika?

Ja widzę dwa powody

Ćwiczenie techniki
Czasem łatwiej porównywać daw ułamki, gdy mianowniki maja podobny kształt

Żeby umieć policzyć niektóre granice (na przykład pochodną z \(\displaystyle{ x^{-1/2}}\)? Albo dlatego, że dzielenie przez liczbę całkowitą jest zazwyczaj prostsze niż dzielić przez pierwiastek? Chociaż w dobie komputerów ten drugi argument trochę słaby jest.

Bo jeśli uznamy po inżyniersku, że \(\displaystyle{ \sqrt{15} \approx 4 }\) to przybliżenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{4.1 - \sqrt{15}} \approx \frac{1}{0.01}=100 }\)

jest tragiczne a

\(\displaystyle{ \frac{1}{4.1- \sqrt{15}}= \frac{410+100 \sqrt{15} }{181} \approx \frac{410+100 \cdot 4 }{181} = \frac{810}{181} }\)

jest całkiem niezłe.
Więc okazuje się, że gdy się wyjdzie z niewymierności to błąd się "nie propaguje" jakkolwiek nieformalnie to brzmi. Choć faktycznie w dobie komputerów to ma już małe znaczenie... tylko, że system szkolny jest sprzed doby komputerów.

Ja od siebie dorzucę:
- oszacowanie w pamięci, gdzie dana liczba jest na osi (dzielenie przez przybliżenia obarczone jest dużym błędem - jak napisał wyżej Janusz Tracz)
- wygląd estetyczny (choć to pojęcie względne)
- trening w rachunkach (w kontekście przyszłości - liczby zespolone, tam podobnie przemnażamy przez sprzężenie)
- umiejscowienie liczby w strukturze algebraicznej (np. w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{3}]}\))