Szeregi - trzy dowody
: 3 sty 2020, o 21:14
Dzień dobry!
Wracam ostatnio do pewnych tematów z czasów studiów, ale pewne rzeczy mi zdążyły umknąć.
Będę wdzięczny za wskazówki / podpowiedzi do poniższych zadań.
Z góry dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam
1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \geq 0}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2}\) jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}}\).
2. Dowieść, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) o wyrazach dodatnich malejących jest zbieżny to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} na_n = 0}\).
3. Korzystając z wyników zadania 2. wykazać, że dla \(\displaystyle{ 0 < s \leq 1}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\) jest rozbieżny.
Wracam ostatnio do pewnych tematów z czasów studiów, ale pewne rzeczy mi zdążyły umknąć.
Będę wdzięczny za wskazówki / podpowiedzi do poniższych zadań.
Z góry dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam
1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \geq 0}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2}\) jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}}\).
2. Dowieść, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) o wyrazach dodatnich malejących jest zbieżny to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} na_n = 0}\).
3. Korzystając z wyników zadania 2. wykazać, że dla \(\displaystyle{ 0 < s \leq 1}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\) jest rozbieżny.