Rozwiązać równanie 3 stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy

Rozwiązać równanie 3 stopnia

Post autor: cmnstrnbnn » 27 gru 2019, o 22:33

Rozwiąż równanie 3 stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1 }\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18296
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia

Post autor: a4karo » 27 gru 2019, o 22:43

Spytaj Wolframa (prostych rozwiązań nie ma)

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1594
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 387 razy

Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia

Post autor: pesel » 27 gru 2019, o 23:04

cmnstrnbnn pisze:
27 gru 2019, o 22:33
Rozwiąż równanie 3 stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1 }\)
Podaj to równanie.

cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy

Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia

Post autor: cmnstrnbnn » 27 gru 2019, o 23:15

pesel pisze:
27 gru 2019, o 23:04
Podaj to równanie.
Ojć, nie dopisałem
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1=0 }\)

lola456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 16 lis 2019, o 21:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia

Post autor: lola456 » 1 sty 2020, o 21:49

To równanie nie ma rozwiązania należącego do zbioru liczb wymiernych. Zatem pewnie musisz przybliżyć rozwiązanie stosując tw. Darboux?

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1462
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 462 razy

Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia

Post autor: Psiaczek » 1 sty 2020, o 23:14

lola456 pisze:
1 sty 2020, o 21:49
To równanie nie ma rozwiązania należącego do zbioru liczb wymiernych. Zatem pewnie musisz przybliżyć rozwiązanie stosując tw. Darboux?
użytkownik mariuszm już nie rozwiązuje tu równań 3 stopnia jak widzę, więc ja w zastępstwie :P

podstawiając w tym równaniu \(\displaystyle{ x=y-3}\) otrzymujemy równanie nie zawierające drugiej potęgi:

\(\displaystyle{ (y-3)^3+9(y-3)^2-7(y-3)+1=0}\)

\(\displaystyle{ y^3-9y^2+27y-27+9y^2-54y+81-7y+22=0}\)

\(\displaystyle{ y^3-34y+76=0}\)

można różnie oznaczać , tak klasycznie to \(\displaystyle{ p=-34, q=76}\) a wtedy wyróżnik tego równania wynosi:

\(\displaystyle{ \Delta= \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}=-11 \frac{19}{27}<0 }\)

jest to tzw. przypadek nieprzywiedlny, trzy pierwiastki rzeczywiste wyrażają się wzorami Cardano poprzez liczby zespolone, więc przeważnie korzysta się ze sposobu trygonometrycznego, co sprowadza się do tego że po obliczeniu kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) ze wzoru

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{- \frac{q}{2} }{ \sqrt{ \frac{-p^3}{27} }} }\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in [0, \pi ]}\)

pierwiastki dane są wzorami:

\(\displaystyle{ y_1=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha }{3} }\)

\(\displaystyle{ y_2=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha+ \pi }{3} }\)

\(\displaystyle{ y_3=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha+2 \pi }{3} }\)

potem wracamy do wyjściowej zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i otrzymujemy przybliżone wartości pierwiastków wyjściowego równania:

\(\displaystyle{ x_1 \approx 0.5395}\)

\(\displaystyle{ x_2 \approx-9.7300}\)

\(\displaystyle{ x_3 \approx 0.1905}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6738
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1219 razy

Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia

Post autor: mariuszm » 21 sty 2020, o 19:09

@ Psiaczek można było jeszcze pokazać że równanie ma postać wzoru na cosinus kąta potrojonego
aby użytkownik wiedział dlaczego ten sposób trygonometryczny zadziała

ODPOWIEDZ