Granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Granica ciągu

Post autor: magdabp » 12 paź 2007, o 18:47

\(\displaystyle{ (a) \lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{1+x^n}}\), \(\displaystyle{ x -1}\)

\(\displaystyle{ (b) \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1+x^n}}\), \(\displaystyle{ x R}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Granica ciągu

Post autor: soku11 » 12 paź 2007, o 19:08

\(\displaystyle{ (b) \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1+x^n}
\lim_{n \to +\infty} (1+x^n)^{\frac{1}{n}}=
\lim_{n \to +\infty} e^{ln(1+x^n)\cdot\frac{1}{n}}=
e^{\lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1+x^n)}{n}}\\
\lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1+x^n)}{n}=H=
\lim_{n \to +\infty} \frac{x^nln n}{1+x^n}=H=
\lim_{n \to +\infty} \frac{x^nln^2 n+x^n\frac{1}{n}}{x^nln n}=
\lim_{n \to +\infty} \frac{ln^2 n+\frac{1}{n}}{ln n}=H=
\lim_{n \to +\infty} \frac{2ln n\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}=
\lim_{n \to +\infty} (2 ln n-\frac{1}{n})=+\infty\\
e^{+\infty}=+\infty}\)


POZDRO
Ostatnio zmieniony 12 paź 2007, o 19:12 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granica ciągu

Post autor: luka52 » 12 paź 2007, o 19:12

Odnośnie b) ja bym raczej powiedział, że:
\(\displaystyle{ x \longleftarrow \sqrt[n]{x^n} < \sqrt[n]{1+x^n} < \sqrt[n]{2 x^n } \longrightarrow x}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Granica ciągu

Post autor: soku11 » 12 paź 2007, o 19:16

Heh... A gdzie blad w moim rozumowaniu?? :)

a) bym zrobil tak:
- dla x>1
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{1+x^n}=
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{x^{n}}+1}=1}\)

- dla x=1
\(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty} \frac{1^n}{1+1^n}=1\\}\)
-dla x=0
\(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty} \frac{0}{1}=0\\}\)
-dla -1
Ostatnio zmieniony 12 paź 2007, o 19:29 przez soku11, łącznie zmieniany 3 razy.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Granica ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 12 paź 2007, o 19:20

jeszcze co do a) należy zaznaczyć, że wykonując taką operację zakładasz, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} x^{n}=+\infty}\), a wcale tak nie musi być. Należy tu rozważyć kilka przypadków:
-\(\displaystyle{ x=0}\)
-\(\displaystyle{ x=1}\)
-\(\displaystyle{ x\in (-1,1)}\)
-pozostałe iksy

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granica ciągu

Post autor: luka52 » 12 paź 2007, o 19:50

soku11 pisze:Heh... A gdzie blad w moim rozumowaniu??
Ot przy pierwszym korzystaniu z delopitala źle obliczyłeś pochodną.

Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Granica ciągu

Post autor: magdabp » 13 paź 2007, o 19:13

Wow!! dzięki wielkie za odpowiedzi...

ODPOWIEDZ