Liczby Zespolone-krótkie zadania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
rebelde
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 paź 2007, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: olesno
Podziękował: 2 razy

Liczby Zespolone-krótkie zadania

Post autor: rebelde » 12 paź 2007, o 18:27

Witam

Chciałbym prosić was o pomoc w zadaniach z Liczb Zespolonych.Był bym bardzo wdzięczny jak by ktoś je rozwiązał


Zadanie 1
Oblicz:

A) \(\displaystyle{ ( - \sqrt{3} + i)^{12}}\)

B) \(\displaystyle{ ( - 1 - \sqrt{3}i)^{24}}\)



Zadanie 2
Korzystając z definicji oblicz podane pierwiastki:

A) \(\displaystyle{ {\sqrt[3]{i }}}\)


B) \(\displaystyle{ {\sqrt[4]{16}}}\)



Z góry THX za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Liczby Zespolone-krótkie zadania

Post autor: soku11 » 12 paź 2007, o 18:35

1.A:
\(\displaystyle{ [2( - \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})]^{12} =
2^{12} ( cos(\frac{5\pi}{6}) + isin(\frac{5\pi}{6}))^{12}=
2^{12} ( cos(12\cdot\frac{5\pi}{6}) + isin(12\cdot\frac{5\pi}{6}))=
2^{12} ( cos(10\pi) + isin(10\pi))=...}\)


B. praktycznie tak samo

2.B:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{16}\\
16=(cos0+isin0)\\
w_k=\sqrt[4]{16}(cos\frac{0+2k\pi}{4}+isin\frac{0+2k\pi}{4})=
2(cos\frac{k\pi}{2}+isin\frac{k\pi}{2})\\
w_0=2(cos0+isin0)=2\\
w_1=2(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})=2(0+i)=2i\\
w_2=2(cos\pi+isin\pi)=2(-1+0)=-2\\
w_3=2(cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})=2(0-i)=-2i}\)


W A. zapisz sobie tak:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}\\
i=1(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})\\
w_k=1(cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3})\\
...}\)



POZDRO

iwetta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 22 wrz 2005, o 19:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 18 razy

Liczby Zespolone-krótkie zadania

Post autor: iwetta » 15 paź 2007, o 11:45

jeśli możesz to rozpisz jak doszedłeś do tego \(\displaystyle{ w_{k}}\) w tym przykładzie: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\) Stosujesz tu wzór na potęgowanie?

WoDzU07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 paź 2007, o 09:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole

Liczby Zespolone-krótkie zadania

Post autor: WoDzU07 » 23 paź 2007, o 18:26

Bierzesz to, co ci wyszło przy i, czyli �Π + 2kΠ ze wzoru ogólnego, dzielisz przez 3 (takiego stopnia jest pierwiastek z i).

ODPOWIEDZ