Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\). Niech \(\displaystyle{ S}\)
będzie rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) które zawieraja zbiór \(\displaystyle{ E}\).
Pokaz, ze \(\displaystyle{ Span(E) = \bigcap_{}^{} S }\)
(\(\displaystyle{ Span(E)}\) to to samo co \(\displaystyle{ \Lin(E)}\))

Moja próba, gdzie jestem pewien, że wymaga poprawy:

"\(\displaystyle{ \rightarrow }\)"
Weźmy dow. \(\displaystyle{ v \in Span(E)}\) z tego wynika, że \(\displaystyle{ v = k_1e_1+k_2e_2 + ... + k_ne_n}\) gdzie \(\displaystyle{ k_i \in K}\) oraz \(\displaystyle{ e_i \in E}\).
Jeśli \(\displaystyle{ e_i \in E}\) to znaczy, że \(\displaystyle{ e_i \in \bigcap_{}^{} S}\) (bo każda podprzestrzeń z \(\displaystyle{ S}\) zawiera elementy \(\displaystyle{ E}\))
\(\displaystyle{ (\forall A \in S)(e_i \in A)}\) to wynika z tego, że \(\displaystyle{ (\forall A \in S)(k_ie_i\in A)}\) (podprzestrzeń).
A więc suma \(\displaystyle{ k_1e_1+k_2e_2 + ... + k_ne_n \in \bigcap_{}^{} S}\) (też podprzestrzeń) czyli \(\displaystyle{ v \in \bigcap_{}^{} S}\).

" \(\displaystyle{ \leftarrow}\) "
Weźmy dow. \(\displaystyle{ v \in \bigcap_{}^{} S \Leftrightarrow (\forall A \in S)(v \in A)}\).
Wiemy z założeń, że \(\displaystyle{ E \subseteq A}\) z tego nam wynika, że \(\displaystyle{ (\forall A \in S)(v \in E \rightarrow v \in A)}\)
\(\displaystyle{ v \in A}\) gdzie \(\displaystyle{ A \le V}\)...

No i tutaj już nie mam pomysłu jak dalej pociągnąć. Proszę o pomoc.

Niech \(e_1,\dots,e_n\in E\) i niech \(V\in S\) będzie dowolną podprzestrzenią zawierającą \(E\). Wtedy \(e_1,\dots,e_n\in V\), więc każda kombinacja liniowa tych wektorów też należy do \(V\). Dlatego mamy inkluzję \(\text{Span}(E)\subset\bigcap S\). Druga inkluzja wynika natychmiast z faktu, że \(\text{Span}(E)\) sama jest podprzestrzenią liniową zawierającą \(E\).

Dziękuje, za odpowiedź. Druga inkluzja faktycznie jest oczywista.
Pana sposób na pierwszą inkluzje jest zdecydowanie lepszy od mojego pomysłu. Ale czy mój dowód w \(\displaystyle{ \rightarrow }\) jest poprawny? (Pomijając kwestie gdzie jest ładniej, szybciej itp.)