Matematyka.pl

Witajcie,
Mam problem z zapisaniem granicy funkcji z definicji dla tego przykładu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{ x\to 2^{+} } f\left( x\right) = 4 \\ \lim_{ x\to 2^{-} } f\left( x\right) = + ∞ \end{cases} }\)

Jeżeli definicja to:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0} } f\left( x\right) = g \Leftrightarrow \forall_{ x_{n} } x_{n} \in D, \lim_{ n\to ∞ } x_{n}= x_{0} \Rightarrow \lim_{ n\to \infty } f\left( x_{n} \right) =g }\),
to czy dla powyższej klamry przyjmie to postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{ x\to 2^{+} } f\left( x\right) = 4 \\ \lim_{ x\to 2^{-} } f\left( x\right) = + \infty \end{cases} \Leftrightarrow \left( \forall_{ x_{n} >2 }
x_{n} \in D, \lim_{ n\to ∞ } x_{n}= 2 \Rightarrow \lim_{ n\to \infty } f\left( x_{n} \right) =4\right) \wedge \left( \forall_{ x_{n} <2 }
x_{n} \in D, \lim_{ n\to ∞ } x_{n}= 2 \Rightarrow \lim_{ n\to \infty } f\left( x_{n} \right) =+\infty\right) }\)

Jeśli mam błąd to proszę o poprawę.
Dziękuję!

Dodano po 40 minutach 13 sekundach:
Mam problem z jeszcze jednym przykładem:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -1 }f\left( x\right)=-∞ }\)
Mój problem polega na tym, że na zajęciach audytoryjnych rozpisaliśmy dla niego definicję w ten sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -1 }f\left( x\right)=-∞ \Leftrightarrow \forall _{ x_{n} } x_{n} \in S_{\left( -1\right) } \left( \lim_{ n\to ∞} x_{n}=-1 \Rightarrow \lim_{n \to∞ } f\left( x_{n} \right) = -∞ \right) }\)
O ile całość prawie rozumiem, to potrzebuję aby mi ktoś wytłumaczył dlaczego piszemy \(\displaystyle{ ... x_{n} \in S_{\left( -1\right) } ...}\) zamiast \(\displaystyle{ x_{n} \in D}\), gdzie pamiętam z zajęć, że z tym \(\displaystyle{ S_{\left( -1\right) } }\) chyba chodziło o otoczenie punktu \(\displaystyle{ -1}\), mimo to nadal nie wiem o co za bardzo chodzi.
Proszę o wytłumaczenie.

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ S_{(-1)}}\) ma oznaczać sąsiedztwo punktu \(\displaystyle{ x=-1}\), a nie otoczenie. Sąsiedztwo od otoczenia różni się tym, że nie zawiera "środka". To znaczy sąsiedztwem punktu \(\displaystyle{ x_0}\) o promieniu \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\setminus\left\{x_0\right\}}\). Nie możemy po prostu napisać, że "wyrazy ciągu należą do dziedziny funkcji", bo granicę funkcji można zdefiniować w punkcie, w którym nie jest określona. Na przykład funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}}\) ma granicę w zerze, ale nie jest w tym punkcie określona. Dlatego definicja, którą podałeś, nie jest do końca poprawna. Musimy dodać, że wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) są różne od \(\displaystyle{ x_0}\).