Matematyka.pl

Witam. Rozumiem, że skoro proste są rownolegle to ich wektory kierunkowe są proporcjonalne, jednak jak określić czy proste te się nie przecinają czy na siebie się nakładają?

Prostą, prócz wektora kierunkowego, określa także punkt zaczepienia. Wystarczy sprawdzić czy punkt zaczepienia jednej z równoległych prostych spełnia równanie drugiej prostej. Jeśli tak,to proste się pokrywają, jeśli nie, to są rozłączne.

Jeśli proste są równoległe - wektory kierunkowe tych prostych \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}, \ \ \vec{a}_{2} }\) są równoległe, to znaczy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ t\in \RR }\) i spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} = t\cdot \vec{a}_{2}. }\)

Iloczyn skalarny tych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = -1 }\)

Proste są prostopadłe, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 0 }\)

Proste przecinają się, gdy \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq 1 , \ \ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq -1. }\)

janusz47 pisze: 16 gru 2019, o 12:11 Jeśli proste są równoległe - wektory kierunkowe tych prostych \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}, \ \ \vec{a}_{2} }\) są równoległe, to znaczy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ t\in \RR }\) i spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} = t\cdot \vec{a}_{2}. }\)

Iloczyn skalarny tych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = -1 }\)

Zwykle tak nie jest. Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} =\left[1,1,1 \right] \ \wedge \ \vec{a}_{2} =\left[2,2,2 \right] \ \ \Rightarrow \ \vec{a}_{1} \circ \vec{a}_{2}=6 }\)

janusz47 pisze: 16 gru 2019, o 12:11 Proste przecinają się, gdy \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq 1 , \ \ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq -1. }\)

Także zwykle nie. Kontrprzykład jak wyżej.

janusz47 pisze: 16 gru 2019, o 12:11 Jeśli proste są równoległe - wektory kierunkowe tych prostych \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}, \ \ \vec{a}_{2} }\) są równoległe, to znaczy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ t\in \RR }\) i spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} = t\cdot \vec{a}_{2}. }\)

Iloczyn skalarny tych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = -1 }\)

Proste dane równaniami `\mathbf{x}=s[1,1,1]` i `\mathbf{x}=s[2,2,2]`, są równolegle (bo są takie same), ale ich wektory kierunkowe nie spełniają podanego warunku. Wektor kierunkowy nie musi mieć długości `1`.

Proste są prostopadłe, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 0 }\)

Wektory `[1,0,0]` i `[0,1,0]` są prostopadłe, ale proste `s[1,0,0]` i `(0,0,1)+s[0,1,0]` nie są prostopadłe, bo nie mają punktu wspólnego.

Proste przecinają się, gdy \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq 1 , \ \ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq -1. }\)

Proste `s[1,0,0]` i `s[0,1,0]` przecinają się, a iloczyn skalarny ich wektorów kierunkowych jest równy od `\pm 1`


Trzy stwierdzenia - trzy nieprawdy.