Matematyka.pl

Witam , potrzebuję pomocy z takimi zadaniami dokładniej z tym co się dzieje po lewej stronie , kolejne kroki zadania są dla mnie jasne .

Jeżeli mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku co robić po lewej stronie byłbym wdzięczny . Bo ile przy przykładach gdzie łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ q}\) to robię bez problemu , to tutaj szczególnie w pierwszym zadaniu nie mam zielonego pojęcia jak to zacząć (na co zwrócić uwagę)

(W drugim zadaniu trzeba zbadać liczbę pierwiastków w zależności od \(\displaystyle{ m}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ n\in\NN}\))

zadanie 1
\(\displaystyle{ \left(\frac{5}{6} + \frac{13}{36} + \frac{35}{216} + ... + \frac{2 ^{n}+3^{n}}{6 ^{n}}+ ... \right) ^{|x|} > \left(\frac{9}{4}\right)^{ \frac{ x^{2} -2 }{2}}}\)

zadanie 2

\(\displaystyle{ 3 ^{x+1} + 3^{x} + 3 ^{x-1} + ... + 3^{x-n+2} + ... = \frac{1}{8} \left(4\cdot 3^{2x} + m\right)}\)

W pierwszym masz sumę wyrazów dwóch ciągów geometrycznych, danych w zasadzie jawnymi wzorami. Liczysz sumę wyrazów każdego z ciągów z osobna i dodajesz.

JK

Zgadza się , tylko nie wiem jakie maiło by być \(\displaystyle{ q}\) w pierwszym ciągu , w zeszycie mam zapisane że \(\displaystyle{ q=\frac13}\) ale nie mam pojęcia dlaczego.

Skoro widzisz, że to suma wyrazów dwóch ciągów geometrycznych, to jakie według Ciebie są ich ilorazy?

JK

No właśnie nie wiem , próbuje na różne sposoby używając tego wzoru ale nie wychodzi \(\displaystyle{ a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}}\).

Patrzysz na wzór

\(\displaystyle{ \left(\frac{5}{6} + \frac{13}{36} + \frac{35}{216} + ... + \red{\frac{2 ^{n}+3^{n}}{6 ^{n}}}+ ... \right) ^{|x|} > \left(\frac{9}{4}\right)^{ \frac{ x^{2} -2 }{2}}}\)

i co widzisz?

JK

wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu

Musisz popracować nad matematyczną spostrzegawczością. Powinieneś zauważyć, że

\(\displaystyle{ \frac{2 ^{n}+3^{n}}{6 ^{n}}=\frac{2 ^{n}}{6 ^{n}}+\frac{3 ^{n}}{6 ^{n}}=\left( \frac26\right)^{n}+\left( \frac36\right) ^{n}.}\)

JK

To widzę , ale nie wiem co z tego wynika , gdzie mam iloraz ? jak mam policzyć sumę np pierwszego ciągu z \(\displaystyle{ a _{1} = \frac{5}{6} }\) i tak samo drugiego z \(\displaystyle{ a_{1} = \frac{13}{36} }\)

Z tego wynika, że

\(\displaystyle{ a_n=\left( \frac26\right)^{n}+\left( \frac36\right) ^{n}=\left( \frac13\right)^{n}+\left( \frac12\right) ^{n}.}\)

Najwyraźniej po prostu nie rozumiesz tego zapisu

\(\displaystyle{ \frac{5}{6} + \frac{13}{36} + \frac{35}{216} + ... + \frac{2 ^{n}+3^{n}}{6 ^{n}}+ ... }\)

Ale nikt nie będzie tak miły, żeby pisać Ci

\(\displaystyle{ \frac{2+3}{6} + \frac{2^2+3^2}{6^2} + \frac{2^3+3^3}{6^3} + ... + \red{\frac{2 ^{n}+3^{n}}{6 ^{n}}}+ ... }\)

bo ta informacja jest schowana w czerwonym fragmencie i trzeba umieć ją odczytać.

JK

Zapis rozumiem , jednak nadal nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ q= \frac{1}{3} }\) (tak mam zapisane w zeszycie po zajęciach) nie wiem skąd to się wzięło skoro dla pierwszego ciągu \(\displaystyle{ a_{2} = \frac{35}{216} }\) więc \(\displaystyle{ a_{2} }\) powinno się równać : \(\displaystyle{ \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} ^{1} }\) , a wiemy że tak nie jest

Przecież to są DWA ciagi (pisał o tym JK w swoim pierwszym poście). A jak dwa ciągi, to dwa ilorazy.

a4karo pisze: 15 gru 2019, o 20:58 Przecież to są DWA ciagi (pisał o tym JK w swoim pierwszym poście). A jak dwa ciągi, to dwa ilorazy.

Zgadzam się , ale nie rozumiem dlaczego iloraz dla pierwszego ciągu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

To spójrz na ostatni post JK - druga linijka

Czy ten zapis jest prawdziwy ? \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3} }{1- \frac{1}{3} } + \frac{ \frac{1}{2} }{1- \frac{1}{2}} > \frac{9}{4} ^{ \frac{x ^{2} -2 }{2} } }\) w odniesieniu do tego zadania ? Jeżeli tak to jak to ma się do wzoru \(\displaystyle{ S_{n} = \frac{a _{1} }{1-q} }\)

Dodano po 38 minutach 9 sekundach:
Dobra już zrozumiałem .
Rozpisałem mój błędny sposób myślenia i sposób w jaki go poprawiłem . Gdy chciałem wysłać , wylogowało mnie (jakby skończyła się sesja) . Nie mam zbyt wiele czasu by znów to pisać .
PS: Temat do zamknięcia