Matematyka.pl

Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), takie że ich iloczyn jest podzielny przez \(\displaystyle{ 800}\).
Udowodnij, że jedna liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).

Przyznam, że nie wiem jak do tego podejść. Raczej nie skorzystamy tutaj z cech podzielności liczb przez 8

Mamy \(\displaystyle{ 2^{5}|800}\), wszak \(\displaystyle{ 800=32\cdot 25}\). Wskazówka:
wykładnik, z jakim liczba \(\displaystyle{ 2}\) wchodzi do rozkładu iloczynu \(\displaystyle{ ab}\) na czynniki pierwsze jest sumą wykładników, z jakimi ta liczba wchodzi do rozkładu \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Zauważ, że \(\displaystyle{ 800}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) razy. Zatem musi zajść jedna z możliwości:

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^5|a}\) i \(\displaystyle{ 2\not| b}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^4|a}\) i \(\displaystyle{ 2 | b}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^3|a}\) i \(\displaystyle{ 2^2| b}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^2|a}\) i \(\displaystyle{ 2^3| b}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2|a}\) i \(\displaystyle{ 2^4| b}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2\not|a}\) i \(\displaystyle{ 2^5| b}\)

Dodano po 1 minucie 30 sekundach:
Oczywiście w każdej z tych możliwości okazuje się, że \(\displaystyle{ 8}\) dzieli jedną z liczb \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) bo zawsze gdzieś znajdzie się \(\displaystyle{ 2^3}\)