Matematyka.pl

Obliczyć granicę z reguły de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow 0} x ^{x} }\). Wyszło mi \(\displaystyle{ e ^{x \ln x} }\), ale nie wiem co dalej.

Granica nie ma sensu gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) domyślam się, że miało być \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^+}\) wtedy można napisać:

\(\displaystyle{ x^x=e^{x\ln x}=e^{ \frac{\ln x}{1/x} } \rightarrow e^0=1}\)

wszak \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} =0 }\) co właśnie pokazuje się z reguły de l'Hospitala.

Zazwyczaj pisząc np. \(\displaystyle{ x\to x_0}\) zawęża się do dziedziny funkcji w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_0}\), więc zapis \(\displaystyle{ x\to 0}\), nawet w tym wypadku, zazwyczaj ma sens. Trzeba by dokładniej spojrzeć na definicję granicy funkcji w punkcie, z jakiej korzysta ullortnaci.