Matematyka.pl

Cześć, mam problem z dowodem jednego lematu na temat rozszerzenia Galois zaprezentowanym w S. Bosch "Algebra from the viewpoint of Galois Theory". Jest ono podane po angielsku, więc przytoczę tę wersję oraz spolszczona przeze mnie, gdyż nie wiem czy dobrze przetłumaczyłem i fajnie byłoby, gdybyście mnie poprawili.


Brzmi ono następująco.

Let L/K be a finite field extension and F an arbitrary extension field
of K. Embed L via a K-homomorphism into an algebraic closure \(\displaystyle{ \overline{F}}\) of F, see
3.4/9, and look at the composite field FL in F. Then, if L/K is Galois with solvable Galois group, then the same is true for the
extension FL/F as well.

Niech L/K będzie skończonym rozszerzeniem ciała K oraz F dowolnym rozszerzeniem ciała K."Wrzućmy" L używając K-homomorfizmu w algebraiczne domknięcie \(\displaystyle{ \overline{F}}\) i spójrzmy na złożone ciało FL w F. Wtedy, jeżeli L/K jest Galois z rozwiązalną grupą Galois, to rozszerzenie FL/F również.

Dowód:
Załóżmy, że L/K jest rozszerzeniem Galois z rozwiązalną grupą Galois. Wtedy FL = F(L) jest skoćzonym rozszerzeniem Galois ciała F. ...

Reszty dowodu nie przytoczę, ponieważ problem mam ze zdaniem: "Wtedy FL = F(L) jest skoćzonym rozszerzeniem Galois ciała F.". Nie mam pojęcia czemu tak jest. Szukałem po różnych twierdzeniach na ten temat, ale nie mogłem nic znaleźć. Jest w stanie ktoś to wytłumaczyć, ewentualnie dać podpowiedzi? Potrzebne mi jest to do pracy licencjackiej.

Pozdrawiam.

"Embed \(L\) via \(K\)-homomorphism" raczej tłumaczy się jako "Zanurzmy \(L\) za pomocą \(K\)-homomorfizmu (ewentualnie homomorfizmu nad \(K\))...."

To, że ciało \(\displaystyle{ FL}\) jest skończonym rozszerzeniem ciała \(\displaystyle{ F}\) jest nietrudne; rozważmy zbiór \(\displaystyle{ M=\left\{ \sum_{i=1}^{m} a_i b_i \ : \ a_i \in F, b_i \in L, m \in \mathbb{N} \right\} }\). Wtedy \(\displaystyle{ M}\) jest przestrzenią wektorową nad ciałem \(\displaystyle{ F}\); co więcej jest ona skończonego wymiaru, gdyż biorąc bazę \(\displaystyle{ c_1 , \ldots , c_k}\) przestrzeni \(\displaystyle{ L}\) nad \(\displaystyle{ K}\), łatwo widać, że jest to układ rozpinający \(\displaystyle{ M}\) nad \(\displaystyle{ F}\). Skoro tak, to \(\displaystyle{ M}\) jest de facto ciałem; jest też jasne, że musi to być najmniejsze ciało zawierające \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ L}\), \(\displaystyle{ M=FL}\).