Nienawidzę równań funkcyjnych.
Kładąc
\(\displaystyle{ x=y=0}\) mamy
\(\displaystyle{ f(0)(f(-1)+1)=0}\), zatem
\(\displaystyle{ f(0)=0\vee f(-1)=-1}\).
Jeśli
\(\displaystyle{ f(0)=0}\), to wstawiając w wyjściowym równaniu
\(\displaystyle{ y=0}\), mamy
\(\displaystyle{ f(x)(f(-1)+1)=0}\), stąd zachodzi jedna z dwóch możliwości:
\(\displaystyle{ f(-1)=-1}\) lub
\(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)f(x)=0}\). Funkcja tożsamościowo równa zeru spełnia wyjściowe równanie, dalej nie będziemy się nią zajmować i przyjmujemy, że
\(\displaystyle{ f(-1)=-1}\).
Gdyby istniało takie
\(\displaystyle{ x_{0}\neq 0}\), że
\(\displaystyle{ f(x_{0})=0}\), to byłoby
\(\displaystyle{ f(x_{0})f(yf(x_{0})-1)=x_{0}^2f(y)-f(x_{0})\\x_{0}^2 f(y)=0}\)
dla każdego
\(\displaystyle{ y\in \RR}\), więc albo
\(\displaystyle{ f}\) jest tożsamościowo równa zeru, albo
\(\displaystyle{ f(x_{0})=0\Leftrightarrow x_{0}=0}\).
Zajmujemy się oczywiście tym drugim przypadkiem.
Dla
\(\displaystyle{ x\neq 0}\) podstawiamy w równaniu
\(\displaystyle{ (*) f(x) f( yf(x) - 1 )= x^2f(y) - f(x), \ y:=x}\), dzielimy stronami przez
\(\displaystyle{ f(x)}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(xf(x)-1)=x^{2}-1 \ (@)}\). W tym ostatnim równaniu wstawiamy
\(\displaystyle{ x:=1}\) i z jedyności miejsca zerowego
\(\displaystyle{ f}\) wnioskujemy, że
\(\displaystyle{ f(1)=1}\).
Teraz kładziemy w
\(\displaystyle{ (*), \ x:=1}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ f(y-1)=f(y)-1}\), natomiast wstawiając w
\(\displaystyle{ (*), \ x:=-1}\) mamy
\(\displaystyle{ -f(-y-1)=f(y)+1}\) i korzystając z poprzedniej równości przekształcamy to do postaci
\(\displaystyle{ -(f(-y-1)+1)=f(y)\\-f(-y)=f(y)}\),
czyli
\(\displaystyle{ f}\) jest funkcją nieparzystą.
Do równania
\(\displaystyle{ (@)}\) stosujemy teraz spostrzeżenie, ze
\(\displaystyle{ f(y-1)+1=f(y)}\), otrzymując w rezultacie
\(\displaystyle{ f(xf(x))=x^{2}}\)
Następnie w
\(\displaystyle{ (*)}\) wstawiamy
\(\displaystyle{ y:=1}\), co daje nam
\(\displaystyle{ f(x)f(f(x))=x^{2}}\)
W tej ostatniej równości podstawiamy
\(\displaystyle{ x:=xf(x)}\), dostając w rezultacie
\(\displaystyle{ x^{2}f(x^{2})=x^2f(x)^2\\f(x^{2})=f(x)^2}\)
(zauważmy, że to ostatnie, w połączeniu z zerowaniem się
\(\displaystyle{ f}\) tylko w zerze, daje nam dodatniość
\(\displaystyle{ f}\) na dodatniej półprostej).
Podstawiamy teraz w
\(\displaystyle{ (*), \ y:=x^2}\) i korzystając z
\(\displaystyle{ f(x^2)=f(x)^2}\) dostajemy
\(\displaystyle{ f\left(x^{2}f(x)\right)=x^{2}f(x)}\).
Pozostaje wykazać, że
\(\displaystyle{ x\mapsto x^2 f(x)}\) jest surjekcją na
\(\displaystyle{ \RR}\) albo przynajmniej
\(\displaystyle{ \RR^{+}}\) (nieparzystość). Nie umiem tego zrobić, co nie kończy dowodu.
Jedyne funkcje, które spełniają to równanie, to
\(\displaystyle{ f(x)\equiv 0, \ f(x)=x}\), ale nie potrafię tego wykazać, ja w ogóle niewiele potrafię.