Oblicz pole trójkąta mając obwód i kąty wewnętrzne

Darek555 · Post autor: **Darek555** » 3 mar 2005, o 15:16

Hej

Mam pytanie czy mozna obliczyc pole dowolnego trojkata majac dany obwod i wszystkie katy ??

Pozdrawiam

Arbooz · Post autor: **Arbooz** » 3 mar 2005, o 18:34

Da się.
Nie jestem pewien, jak byłoby najprościej, ale ja bym z tw. sinusów wyznaczył długości boków, a potem podstawił do wzoru herona.

Tw. sinusów i wzór herona można znaleźć tutaj: https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=3338

Darek555 · Post autor: **Darek555** » 3 mar 2005, o 18:51

Tak jak ty mowisze sie nie da, do wzoru sinusow musisz miec promien okreku opisanego, nawet jak to sobie uzalezszni to za duzo niewiadomych, chyba ze masz rozwiazanie to napisz moze czegos nie zauwazylem

Arbooz · Post autor: **Arbooz** » 3 mar 2005, o 19:28

Niech O - obwód trójkąta.

\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma} a

c = sin\alpha : sin\beta : sin\gamma}\)

Skoro znamy kąty, to znamy stosunek ich sinusów, czyli znamy stosunek a

c. A skoro wiemy, że a+b+c = O, to jednoznacznie wyznacza nam to a, b i c.

A konkretniej:

\(\displaystyle{ b = \frac{sin\beta}{sin\alpha}*a}\)
\(\displaystyle{ c = \frac{sin\gamma}{sin\alpha}*a}\)

zatem

\(\displaystyle{ O = a(1 + \frac{sin\beta}{sin\alpha} + \frac{sin\gamma}{sin\alpha})}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{O}{1 + \frac{sin\beta}{sin\alpha} + \frac{sin\gamma}{sin\alpha}}}\)

analogicznie b i c