Matematyka.pl

1)Wyznaczyć macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ \{(1, 0, -1) , (1, -2, 1) , (2, -3, 0)\}}\) do bazy \(\displaystyle{ \{(2, 0, -2) , (0, -1, 2)\}}\)
(w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)).
Mam problem z zastosowaniem twierdzeń odnośnie macierzy przejścia z bazy 3 wektorów, do bazy z 2 wektorów.
Zapisuję wektory bazy 2, jako kombinacje liniowe bazy pierwszej:
\(\displaystyle{ (2,0,-2) = p_{11}(1,0,-1) + p_{21}(1,-2,1)+p_{31}(2,-3,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,-1,2) = p_{12}(1,0,-1)+p_{22}(1,-2,1)+p_{23}(2,-3,0)}\)
Wykładowca podał odpowiedź do zadania, jako macierz 3x3, stąd już to by się nie zgadzało.
2) Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1 (2,1,1),(3,2,1) , B_2 (-1,2,2),(-6,2,4)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)
a) Pokazać że są to bazy - tutaj nie ma problemu.
b) Podać macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ B_1}\) do bazy \(\displaystyle{ B_2}\) .
W podpunkcie b nie wiem w jaki sposób pokazać wektory bazy 2 jako kombinacje liniowe bazy pierwszej:
\(\displaystyle{ (-1,2,2)=p_{11}(2,1,1)+p_{21}(3,2,1)}\)
\(\displaystyle{ (-6,2,4)=p_{21}(2,1,1)+p_{22}(3,2,1)}\)
z podanego układu otrzymuję już przy 1 równaniu sprzeczność, bo:
\(\displaystyle{ p_{11}+2\cdot p_{21}=2}\)
\(\displaystyle{ p_{11}+p_{21}=2}\), więc prawdopodobnie coś robię nie tak. Proszę o pomoc.

A te dwa wektory tworzą bazę w \(\RR^3\)?????

Bozydar12 pisze: ↑30 lis 2019, o 22:441)Wyznaczyć macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ \{(1, 0, -1) , (1, -2, 1) , (2, -3, 0)\}}\) do bazy \(\displaystyle{ \{(2, 0, -2) , (0, -1, 2)\}}\)
(w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)).

Tego nie da się zrobić, bo dwa wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\) nie tworzą bazy. Ewidentnie zgubiony jest jeden wektor.

JK

No okej, to załóżmy, że wykładowca się pomylił w pisaniu tego zadania, co w takim razie z przykładem drugim?

Wektory w \(\RR^2\)) z trzema współrzędnymi ???????????????

Dokładnie tak jest zapisane, też mi się to szczerze powiedziawszy nie podoba :>

Dodano po 3 minutach 18 sekundach:
Poprzednim zadaniem jest to:
\(\displaystyle{ B_1:(2,2),(2,3), B_0:(1,0),(0,1)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)
I te same polecenia, tutaj nie mam żadnego problemu, ale potem mam dwa zadania z takimi "kwiatkami" jak napisałem.

Ktoś musiał mieć potężnego kaca gdy je pisał.

No chyba, że chodzi np. o

Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...

Ale w kontekście zadania pierwszego też stawiałbym na kaca.

JK

To może jeszcze pytanie odnośnie pokazania, czy wektory są bazą przestrzeni.
Muszę sprawdzić liniową niezależność oraz sprawdzić czy generują przestrzeń. O ile z niezależnością problemów nie mam, o tyle mam problem ze sprawdzeniem czy wektory generują przestrzeń.
Weźmy przykład: \(\displaystyle{ (a,b,c)=x(2,1,3)+y(1,1,-2)+z(2,1,1)}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c)=(2x+y+2z,x+y+z,3x-2y+z)}\)
Czy aby formalnie pokazać generację przestrzeni muszę rozwiązać układ równań i pokazać że istnieje rozwiązanie dla dowolnego a,b i c?

Dodano po 1 minucie 12 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑30 lis 2019, o 23:28 No chyba, że chodzi np. o

Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...

Ale w kontekście zadania pierwszego też stawiałbym na kaca.

JK

A mogę spytać co zmienia ten zapis, bo nie bardzo rozumiem?

Bozydar12 pisze: ↑30 lis 2019, o 23:31O ile z niezależnością problemów nie mam, o tyle mam problem ze sprawdzeniem czy wektory generują przestrzeń.

Ale tego nie sprawdzasz. Każde trzy liniowo niezależne wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\) tworzą bazę.

Bozydar12 pisze: ↑30 lis 2019, o 23:31

Jan Kraszewski pisze: ↑30 lis 2019, o 23:28 No chyba, że chodzi np. o

Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...

A mogę spytać co zmienia ten zapis, bo nie bardzo rozumiem?

\(\displaystyle{ (2,1;\ 1)=\left( \frac{21}{10},1 \right) }\) itd.

JK

Ahhh, przecinki, moje niedopatrzenie. Czyli kiedy mam tyle wektorów, ile wynosi wymiar przestrzeni, oraz są one liniowo niezależne, to wystarczający dowód na generowanie przestrzeni tak?

Bozydar12 pisze: ↑30 lis 2019, o 23:39Czyli kiedy mam tyle wektorów, ile wynosi wymiar przestrzeni, oraz są one liniowo niezależne, to wystarczający dowód na generowanie przestrzeni tak?

Tak. Układ liniowo niezależny jest bazą dokładnie wtedy, gdy jest maksymalny. W przestrzeniach skończenie wymiarowych oznacza to, że ma tyle elementów, ile wymiar przestrzeni.

JK

I jeszcze co do zadania 2, czy gdyby była tam mowa o przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\), to czy zadanie byłoby rozwiązywalne?

Nie, bo bazy w \(\RR^3\) muszą być trzyelementowe.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑30 lis 2019, o 23:28 No chyba, że chodzi np. o

Dane są bazy \(\displaystyle{ B_1=\{ (2,1;\ 1),(3,2;\ 1)\} , B_2=\{ (-1,2;\ 2),(-6,2;\ 4)\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)...

Ale w kontekście zadania pierwszego też stawiałbym na kaca.

JK

I tu koniecznie trzeba sparafrazować klasyka tego forum: viewtopic.php?f=27&t=443358#p5593866

"Wektory pierwszosemestralne z definicji mają współczynniki całkowite"

Dodano po 2 minutach 16 sekundach:

Bozydar12 pisze: ↑30 lis 2019, o 23:51 I jeszcze co do zadania 2, czy gdyby była tam mowa o przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\), to czy zadanie byłoby rozwiązywalne?

Istniałaby jeszcze drobna szansa, że pary tych wektorów opisują tę samą dwuwymiarową podprzestrzeń w \(\RR^3\), ale prosty rachunek pokazuje, że tak nie jest.