Matematyka.pl

Witam
Proszę o pomoc. Czy istnieje jakiś inny sposób poza dzieleniem pisemnym? Umiem dzielenie pisemne, ale nie lubię.
Dla jakich \(\displaystyle{ a,b}\) wielomian ma dwukrotny pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}=2}\)? \(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-4x^{3}+ax^{2}+8x+b}\)
Jak jest czwartego stopnia to pewnie ma cztery pierwiastki. Zastanawiam się, czy nie napisać postaci iloczynowej, rozpisać i porównać, ale to mi chyba nic nie da.

Najprościej pochodną, ale tego pewnie nie miałaś.

JK

Wsk dwukrotny pierwiastek wielomianu jest też pierwiastkiem jego pochodnej

Czyli nie da się, no trudno. Nie, takie rzeczy podobno mają być pod koniec roku szkolnego czy coś.

Niepokonana pisze: ↑30 lis 2019, o 17:49 Zastanawiam się, czy nie napisać postaci iloczynowej, rozpisać i porównać, ale to mi chyba nic nie da.

Może to coś da, kto wie

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+ax^2+8x+b=(x-2)^2(x^2+px+q)}\)

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+ax^2+8x+b=(x^2-4x+4)(x^2+px+q)}\)

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+ax^2+8x+b=x^4+(p-4)x^3+(-4p+q+4)x^2+(4p-4q)x+4q}\)

porównując współczynniki przy jednakowych potęgach , mamy \(\displaystyle{ p=0}\) i dalej obliczamy \(\displaystyle{ q=-2,a=2,b=-8}\)

Widzisz, Niepokonana. Nie nauczysz się, bo liczą za Ciebie.

No widzę widzę, ale cieszę się, że sposób iloczynowy zadziała. ^^ Myślałam, że przyrównywanie będzie za ciężkie tj. będzie za dużo zmiennych.
Czy to będzie bardzo chamskie, jak powiem, że czuję się jak księżniczka z podwładnymi/doradcami?

Niepokonana pisze: ↑30 lis 2019, o 18:16 Czy to będzie bardzo chamskie, jak powiem, że czuję się jak księżniczka z podwładnymi/doradcami?

Ja swoje uczennice traktuję jak księżniczki, a Ty jesteś w pewnym sensie moją internetową uczennicą , więc się nie obrażam

Dlaczego nie jesteś moim nauczycielem matematyki w prawdziwym życiu? Moja pani nas traktuje jak worki treningowe żeby się wykrzyczeć...
Dzięki Psiaczku za rozwiązanie, ale nie mogę brać gotowców, wiesz. Można mi tylko co najwyżej podpowiadać.

Dodano po 2 godzinach 43 minutach 47 sekundach:

Psiaczek pisze: ↑30 lis 2019, o 18:10
\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+ax^{2}+8x+b=(x-2)^{2}\red{(x^{2}+px+q)} }\)

A skąd się to czerwone wzięło? Tak nie wygląda przecie \(\displaystyle{ (x-p)(x-q)}\)

Czerwone to dowolny wielomian \(\displaystyle{ 2}\) stopnia (prawie dowolny bo współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest \(\displaystyle{ 1}\) co można szybko pokazać) a dowolny wielomian \(\displaystyle{ 2}\) stopnia nie musi mieć wcale pierwiastków rzeczywistych więc przedstawiania go w postaci iloczynowej nie zawsze jest możliwe.

A dobra dziękuję.